Operaciones con series de potencias

01 · Una representación operable

Transformar funciones mediante coeficientes

Dentro de su intervalo de convergencia, una serie de potencias se comporta en muchos aspectos como un polinomio infinito. Podemos combinar dos series o aplicarles operaciones de cálculo término a término.

Si:

entonces sus coeficientes permiten construir representaciones para f+g, fg, f′ y una primitiva de f.

02 · Preparación

Expresar las series alrededor del mismo centro

Para operar coeficiente a coeficiente, ambas series deben usar las mismas potencias (x−c)ⁿ. Si sus centros son diferentes, primero hay que reexpandir una de ellas alrededor del centro elegido.

Por ejemplo, no se suman directamente los coeficientes de:

porque el coeficiente de índice n multiplica bases distintas. En este tema supondremos un centro común.

03 · Operaciones lineales

Sumar y multiplicar por escalares

Si ambas series convergen en x, entonces:

La regla es componente a componente. Los coeficientes ausentes se interpretan como cero.

Ejemplo:

La suma cancela todas las potencias impares.

04 · Dominio de la suma

La intersección siempre es segura

Si f tiene radio R_f y g radio R_g, la serie obtenida por suma converge al menos cuando:

La palabra «al menos» es importante. Una cancelación exacta puede aumentar el radio. Si g=−f, la suma es la serie cero y converge para todo x, aunque cada serie original tenga radio finito.

Los extremos del intervalo común también requieren análisis propio.

05 · Producto de Cauchy

Multiplicar exige una convolución

El coeficiente de grado n en el producto recibe contribuciones de todos los pares de grados que suman n:

Esta suma finita de productos se llama convolución o producto de Cauchy de las sucesiones de coeficientes.

06 · De dónde surge la fórmula

Agrupar por grado total

Al multiplicar formalmente:

los primeros coeficientes son:

El índice k recorre una diagonal de pares (k,n−k). La convergencia absoluta dentro del menor radio justifica reagrupar la doble suma.

07 · Ejemplo de producto

El cuadrado de la serie geométrica

Para |x|<1:

Todos los coeficientes son uno. En el grado n aparecen n+1 productos iguales a uno, de modo que:

La convolución convierte dos secuencias constantes en la sucesión 1,2,3,4,….

08 · Dominio del producto

Convergencia absoluta antes de reagrupar

El producto de Cauchy representa f(x)g(x) en todo punto donde ambas series convergen absolutamente. Por tanto, su radio es al menos:

También puede aumentar por cancelaciones especiales. En puntos donde una o ambas series solo convergen condicionalmente, no debe aplicarse la regla sin un teorema adicional.

Dentro del disco abierto común no existe ese problema: las series de potencias convergen absolutamente.

09 · Derivación término a término

Derivar como si fuera un polinomio

Si:

tiene radio R>0, entonces para |x−c|<R:

La serie derivada tiene el mismo radio R. Para escribirla con potencias de índice n:

10 · Ejemplo de derivación

Otra ruta hacia 1/(1−x)²

Derivamos la identidad geométrica dentro de |x|<1:

Reindexando con m=n−1 se recupera:

El producto de Cauchy y la derivación conducen a la misma representación.

11 · Integración término a término

Construir una primitiva

Dentro del radio de convergencia:

La serie integrada conserva el mismo radio R. La constante C no aparece al integrar cada potencia y debe agregarse por separado.

Una forma que fija automáticamente la constante es integrar desde el centro:

12 · Ejemplo de integración

Obtener el logaritmo desde la geométrica

Integramos desde 0 hasta x la identidad 1/(1−t)=∑tⁿ:

Reindexando:

La serie permite además analizar los extremos por separado: en x=−1 converge a −ln 2; en x=1 diverge.

13 · El radio permanece

Los extremos sí pueden cambiar

Derivar o integrar conserva el radio, pero multiplica o divide los coeficientes por factores relacionados con n. Esto puede modificar la convergencia en la frontera.

Después de operar, los extremos deben volver a comprobarse.

14 · Por qué funcionan las reglas

Convergencia uniforme lejos del borde

Fijemos un número r<R. En el intervalo cerrado |x−c|≤r, los términos de la serie pueden dominarse mediante una serie numérica convergente independiente de x.

Este control uniforme permite intercambiar límite con suma, producto, derivada o integral bajo las condiciones correspondientes. La seguridad se obtiene al permanecer a una distancia positiva del borde.

No hace falta dominar toda la teoría de convergencia uniforme para aplicar las reglas, pero sí recordar que la justificación pertenece al interior del radio.

15 · Combinaciones útiles

Extraer partes par e impar

Si f(x)=∑aₙxⁿ, entonces:

La sustitución x→−x cambia el signo de las potencias impares y conserva las pares. Sumar o restar permite filtrar coeficientes sin calcularlos uno a uno.

Por ejemplo, al sumar las geométricas de razones x y −x se obtiene:

16 · Implementación

Operar arreglos de coeficientes

function sumarCoeficientes(a, b) {
  const longitud = Math.max(a.length, b.length);
  return Array.from({ length: longitud }, (_, n) =>
    (a[n] ?? 0) + (b[n] ?? 0));
}

function derivarCoeficientes(a) {
  return a.slice(1).map((coeficiente, n) =>
    (n + 1) * coeficiente);
}

function integrarCoeficientes(a, constante = 0) {
  return [constante, ...a.map((coeficiente, n) =>
    coeficiente / (n + 1))];
}

console.log({
  suma: sumarCoeficientes([1, 2, 3], [4, 5]),
  derivada: derivarCoeficientes([1, 2, 3]),
  integral: integrarCoeficientes([1, 2, 3])
});

Un arreglo finito representa un polinomio parcial, no la serie completa. Las operaciones producen los coeficientes truncados del resultado.

17 · Convolución finita

Implementar el producto de Cauchy

function convolucion(a, b, gradoMaximo = a.length + b.length - 2) {
  const resultado = Array(gradoMaximo + 1).fill(0);
  for (let n = 0; n <= gradoMaximo; n += 1) {
    const desde = Math.max(0, n - (b.length - 1));
    const hasta = Math.min(n, a.length - 1);
    for (let k = desde; k <= hasta; k += 1) {
      resultado[n] += a[k] * b[n - k];
    }
  }
  return resultado;
}

const geometrica = Array(6).fill(1);
console.log(convolucion(geometrica, geometrica, 5));
// [1, 2, 3, 4, 5, 6]

El algoritmo directo cuesta O(N²) para producir los coeficientes hasta grado N. Para grados enormes existen convoluciones rápidas basadas en transformadas, pero añaden complejidad y error numérico.

18 · Operar aproximaciones

El grado disponible también se transforma

Si conocemos coeficientes hasta grado N:

• la derivada confiable llega hasta grado N−1;
• la integral llega hasta grado N+1, más una constante;
• el producto formal de dos polinomios de grado N llega hasta 2N;
• pero los coeficientes bajos del producto solo requieren coeficientes bajos de los factores.

Truncar después de operar y operar después de truncar coinciden para suma y derivada en los grados conservados. En productos y composiciones hay que rastrear qué coeficientes de entrada necesita cada salida.

19 · Exploración interactiva

Laboratorio: transformar la geométrica

Elegí una operación y un valor de x. El gráfico muestra cómo las sumas parciales de la serie transformada se acercan a la función resultante.

Cada punto representa una suma parcial; la línea violeta marca el valor exacto.

20 · Comprensión

Confusiones frecuentes

21 · Práctica y síntesis

Ejercicios de operaciones

Ejercicio 1: derivar

Derivá dos veces ∑ₙ₌₀∞xⁿ y expresá el resultado con potencias xⁿ.

Ejercicio 2: integrar

Integra desde cero ∑ₙ₌₀∞(−1)ⁿx²ⁿ.

Ejercicio 3: producto

Calculá los primeros cuatro coeficientes del producto de ∑xⁿ y ∑(−1)ⁿxⁿ.

Ejercicio 4: coeficientes

Si f(x)=3−2x+5x², obtené los arreglos de coeficientes de f′ y de la primitiva con valor cero en x=0.

Ejercicio 5: extremos

Compará los extremos de ∑xⁿ/n² y los de su derivada.

Ideas para recordar

En el próximo tema utilizaremos derivadas para construir los coeficientes de los polinomios y las series de Taylor alrededor de un punto.