01 · Aproximar una función
Un polinomio que imita el comportamiento local
Los polinomios son fáciles de evaluar, derivar, integrar y combinar. La idea de Taylor consiste en reemplazar una función complicada por un polinomio que comparta con ella tanta información local como permita el grado elegido.
Alrededor de un punto c queremos que el polinomio reproduzca:
- el valor
f(c); - la pendiente
f′(c); - la curvatura codificada por
f″(c); - y las derivadas sucesivas hasta el orden disponible.
02 · Definición finita
El polinomio de Taylor de grado N
Si f posee derivadas hasta orden N en c, su polinomio de Taylor es:
Los primeros términos son:
El factorial normaliza el efecto de derivar una potencia repetidas veces.
03 · Propiedad característica
Coincidencia de derivadas en el centro
El polinomio está construido para satisfacer:
En particular:
P₀comparte solamente el valor;P₁es la aproximación lineal o recta tangente;P₂también comparte la segunda derivada;Pₙcoincide hasta la derivada de ordenN.
Esta propiedad determina un único polinomio de grado a lo sumo N.
04 · Derivación de la fórmula
Por qué aparece n!
Supongamos un polinomio escrito alrededor de c:
Al evaluar en c, queda a₀=P(c). Al derivar una vez y evaluar, queda a₁=P′(c). Después de derivar n veces, el único término de grado n que sobrevive como constante aporta:
Por tanto, para imponer P⁽ⁿ⁾(c)=f⁽ⁿ⁾(c) debe elegirse aₙ=f⁽ⁿ⁾(c)/n!.
05 · Error de aproximación
La parte que el polinomio no explica
El resto de orden N se define como:
Esta igualdad es exacta y solo separa la función en aproximación más error:
Calcular el polinomio no proporciona automáticamente una cota para Rₙ. En el tema 33 estudiaremos fórmulas y condiciones que permiten controlarlo.
06 · Continuar indefinidamente
La serie de Taylor
Si f posee derivadas de todos los órdenes en c, podemos formar la serie:
Esta es la serie de Taylor de f alrededor de c. Sus sumas parciales son precisamente los polinomios Pₙ.
La serie existe formalmente cuando todas las derivadas existen. Otra pregunta, más fuerte, es si converge y si su suma coincide con f(x).
07 · Centro cero
Series de Maclaurin
Cuando c=0, la serie de Taylor recibe el nombre de serie de Maclaurin:
No se trata de otro método, sino del caso particular centrado en el origen. El centro se elige según la región donde se desea aproximar; usar cero por costumbre puede ser ineficiente si el punto de interés está lejos.
08 · Una serie conocida como Taylor
La función 1/(1−x)
Sea f(x)=1/(1−x). Sus derivadas satisfacen:
En c=0, f⁽ⁿ⁾(0)=n!, de modo que todos los coeficientes de Taylor son uno:
La serie geométrica es, por tanto, la serie de Maclaurin de esta función dentro de su radio.
09 · Derivadas repetidas
La función exponencial
Para f(x)=eˣ, todas las derivadas vuelven a ser eˣ. En cero valen uno, así que:
La serie correspondiente converge para todo x y representa a eˣ. Por ejemplo:
En el tema siguiente organizaremos esta y otras expansiones fundamentales como herramientas reutilizables.
10 · Aproximar alrededor de otro punto
El logaritmo cerca de x=1
Para f(x)=ln x, elegimos c=1 porque ln 1=0 y las derivadas toman una forma sencilla:
Entonces:
La variable efectiva es h=x−1. La expansión converge para |h|<1 y también en algunos puntos de frontera que requieren estudio separado.
11 · Caso que termina
El Taylor de un polinomio es exacto
Si f es un polinomio de grado m, todas sus derivadas de orden mayor que m son cero. Por tanto, para cualquier centro:
y el resto es idénticamente cero. Por ejemplo, alrededor de c=1:
La expansión cambia de coeficientes al cambiar el centro, pero representa exactamente el mismo polinomio.
12 · Interpretación local
Valor, pendiente, curvatura y más
Cerca de c:
es la linealización. Agregar el término cuadrático incorpora la curvatura local:
Los órdenes siguientes describen variaciones cada vez más finas. El factor (x−c)ⁿ también explica por qué, para un grado fijo, la aproximación suele degradarse al alejarse del centro.
13 · Advertencia fundamental
Infinitas derivadas no bastan
Definamos:
Esta función posee derivadas de todos los órdenes en cero y todas valen cero. Su serie de Taylor en cero es:
La serie converge a cero para todo x, pero f(x)>0 cuando x≠0. Así, ser infinitamente derivable no implica coincidir con la serie de Taylor.
14 · Concepto correcto
Funciones analíticas
Una función es analítica en c si coincide con su serie de Taylor en algún intervalo abierto alrededor de c.
Para demostrar esa igualdad no basta calcular derivados. Hay que verificar que:
cuando N→∞, en los puntos considerados. El control del resto conecta la construcción formal con la representación real de la función.
15 · Decisión práctica
Elegir el centro cerca de la consulta
Para aproximar f(x₀), suele convenir un centro c cercano a x₀ donde las derivadas sean fáciles de conocer.
La misma función puede tener expansiones distintas. Por ejemplo:
Si x₀ está cerca de c, las potencias de x₀−c decrecen rápidamente. En implementaciones numéricas también puede hacerse una reducción de argumento y reconstruir el resultado después.
16 · Implementación
Construir coeficientes a partir de derivadas
function coeficientesTaylor(derivadasEnCentro) {
const coeficientes = [];
let factorial = 1;
for (let n = 0; n < derivadasEnCentro.length; n += 1) {
if (n > 0) factorial *= n;
coeficientes.push(derivadasEnCentro[n] / factorial);
}
return coeficientes;
}
// Para eˣ en c=0, todas las derivadas valen 1.
console.log(coeficientesTaylor(Array(8).fill(1)));Esta implementación es pedagógica. Calcular factoriales y derivadas simbólicas por separado no siempre es la forma más estable; muchas familias permiten recurrencias directas entre coeficientes.
17 · Evaluación numérica
Horner alrededor del centro
Una vez calculados a₀,…,aₙ, el polinomio se evalúa eficientemente con h=x−c:
function evaluarTaylor(coeficientes, x, centro) {
const h = x - centro;
let resultado = 0;
for (let n = coeficientes.length - 1; n >= 0; n -= 1) {
resultado = resultado * h + coeficientes[n];
}
return resultado;
}
const expGrado6 = [1, 1, 1/2, 1/6, 1/24, 1/120, 1/720];
console.log(evaluarTaylor(expGrado6, 0.5, 0));Horner reduce la cantidad de multiplicaciones y evita calcular cada potencia desde cero.
18 · Lectura responsable
Un grado alto no garantiza precisión global
La calidad depende de la función, el centro, el punto evaluado y el grado. Pueden ocurrir varias situaciones:
- los polinomios convergen a la función en todo número real;
- convergen solo dentro de un radio finito;
- la serie converge, pero no a la función original;
- para un grado fijo, el error crece rápidamente lejos del centro;
- el redondeo limita la mejora al usar grados muy altos.
La gráfica o la experimentación ayudan a formular hipótesis, pero la garantía requiere una cota del resto.
19 · Exploración interactiva
Laboratorio: función y polinomio local
Elegí una función, un desplazamiento respecto del centro y el grado. Compará la curva original con su polinomio de Taylor en todo el entorno mostrado.
Contacto en el centro
eˣ alrededor de c=0
Todas las derivadas de eˣ en cero valen 1.
La línea violeta representa la función y la amarilla el polinomio; el punto rojo marca el valor elegido.
20 · Comprensión
Confusiones frecuentes
«Polinomio y serie de Taylor son lo mismo»
El polinomio tiene grado finito; la serie es el límite formal de todos esos polinomios.
«Si existen todas las derivadas, la serie representa a la función»
No. Hace falta demostrar que el resto tiende a cero.
«Maclaurin es un método diferente»
Es Taylor con centro c=0.
«El factorial pertenece a la potencia»
No. El coeficiente es f⁽ⁿ⁾(c)/n! y multiplica a (x−c)ⁿ.
«Cambiar el centro no cambia los coeficientes»
La función es la misma, pero sus derivadas evaluadas en el nuevo centro producen otros coeficientes.
«Más grado siempre mejora cualquier punto»
La mejora depende del dominio de convergencia, la distancia al centro y el error numérico.
21 · Práctica y síntesis
Ejercicios de construcción
Ejercicio 1: polinomio cuadrático
Construí P₂ para f(x)=ln x alrededor de c=1.
Ver solución
f(1)=0, f′(1)=1 y f″(1)=−1. Entonces P₂(x)=(x−1)−(x−1)²/2.
Ejercicio 2: cambiar el centro
Hallá P₂ de eˣ alrededor de c=1.
Ver solución
Todas las derivadas evaluadas en uno valen e. Por tanto, P₂(x)=e[1+(x−1)+(x−1)²/2].
Ejercicio 3: coincidencia exacta
Expandí x³−2x alrededor de c=1.
Ver solución
Con h=x−1, x=1+h. Entonces x³−2x=−1+h+3h²+h³, es decir, −1+(x−1)+3(x−1)²+(x−1)³.
Ejercicio 4: obtener coeficientes
Si f(0)=2, f′(0)=−3, f″(0)=8 y f‴(0)=−6, escribí P₃.
Ver solución
P₃(x)=2−3x+4x²−x³.
Ejercicio 5: distinguir conceptos
¿Qué falta demostrar después de calcular todas las derivadas y formar una serie de Taylor?
Ver solución
Hay que determinar dónde converge la serie y probar que el resto f(x)−Pₙ(x) tiende a cero. Solo entonces la suma coincide con la función.
Ideas para recordar
- El polinomio de Taylor comparte con la función sus derivadas hasta el grado elegido.
- El coeficiente de
(x−c)ⁿesf⁽ⁿ⁾(c)/n!. - Maclaurin es el caso particular centrado en cero.
- El resto
Rₙ=f−Pₙmide el error de aproximación. - La serie de Taylor requiere derivadas de todos los órdenes, pero eso no garantiza igualdad con la función.
- Una función analítica coincide localmente con su serie.
- Elegir un centro cercano reduce las potencias del desplazamiento.
- Horner evalúa el polinomio con menos operaciones.
En el próximo tema reuniremos las series de Maclaurin fundamentales y aprenderemos a obtener nuevas expansiones a partir de ellas.