01 · Una biblioteca de patrones
No empezar cada expansión desde cero
Calcular derivadas sucesivas siempre es posible en principio, pero suele ser innecesario. Un conjunto pequeño de series fundamentales permite obtener muchas otras mediante las operaciones del tema anterior.
El trabajo práctico consiste en:
- reconocer una función base;
- identificar la sustitución aplicada a su variable;
- transformar correctamente exponentes y coeficientes;
- conservar la región de convergencia transformada;
- evaluar los términos mediante recurrencias estables.
02 · Vista general
Las expansiones principales
| Función | Serie | Convergencia |
|---|---|---|
eˣ | ∑xⁿ/n! | Todo x |
sen x | ∑(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)! | Todo x |
cos x | ∑(−1)ⁿx²ⁿ/(2n)! | Todo x |
1/(1−x) | ∑xⁿ | |x|<1 |
ln(1+x) | ∑(−1)ⁿ⁺¹xⁿ/n, n≥1 | −1<x≤1 |
arctan x | ∑(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1) | |x|≤1 |
En los extremos indicados para logaritmo y arcotangente, la convergencia es condicional.
03 · Exponencial
Una función igual a todas sus derivadas
Como dⁿ(eˣ)/dxⁿ=eˣ, todas las derivadas evaluadas en cero valen uno:
El cociente de magnitudes consecutivas es:
para cualquier x fijo. Por eso el radio es infinito.
04 · Evaluación exponencial
Generar el término siguiente
Los términos tₙ=xⁿ/n! satisfacen:
Esta recurrencia evita calcular por separado una potencia y un factorial:
function expParcial(x, N) {
let termino = 1;
let suma = 1;
for (let n = 1; n <= N; n += 1) {
termino *= x / n;
suma += termino;
}
return suma;
}
console.log({ aproximacion: expParcial(1, 16), referencia: Math.E });05 · Seno
Potencias impares y signos alternados
Las derivadas del seno siguen el ciclo sen, cos, −sen, −cos. Evaluadas en cero producen 0,1,0,−1,…. Así:
La ausencia de potencias pares refleja que el seno es una función impar: sen(−x)=−sen x.
06 · Coseno
Potencias pares y el mismo ciclo
Para el coseno, los valores de las derivadas en cero son 1,0,−1,0,…:
Solo aparecen potencias pares porque cos(−x)=cos x. Tanto seno como coseno tienen radio infinito.
07 · Recurrencias trigonométricas
Saltar directamente al próximo término no nulo
En lugar de recorrer coeficientes cero, se actualizan los términos no nulos:
function senoParcial(x, cantidad) {
let termino = x;
let suma = x;
for (let n = 0; n < cantidad - 1; n += 1) {
termino *= -x * x / ((2 * n + 2) * (2 * n + 3));
suma += termino;
}
return suma;
}
console.log(senoParcial(Math.PI / 6, 6));08 · Geométrica
La fuente de muchas series racionales
Su fuerza está en las sustituciones. Si reemplazamos x por una expresión u(x):
Por ejemplo:
09 · Logaritmo
Integrar una geométrica alternada
A partir de:
integramos desde 0 hasta x:
El radio es 1. En x=1 aparece la armónica alternada y la suma vale ln 2; en x=−1 aparece la armónica con signo negativo y diverge.
10 · Arcotangente
Integrar la serie de 1/(1+x²)
Como la derivada de arctan x es 1/(1+x²):
El radio es 1. En x=1 la suma es π/4 y en x=−1 es −π/4, ambas por convergencia alternada.
11 · Serie binomial
Potencias reales de 1+x
Para un parámetro real α, definimos:
La expansión binomial generalizada es:
Si α es un entero no negativo, algún factor se vuelve cero y la serie termina: se recupera el binomio de Newton, válido para todo x.
12 · Ejemplo binomial
La expansión de √(1+x)
Con α=1/2:
Los coeficientes se generan sin factoriales mediante:
La serie tiene radio 1. El comportamiento general de los extremos depende de α; no debe inferirse solo a partir de la fórmula interior.
13 · Combinaciones exponenciales
Seno y coseno hiperbólicos
Las definiciones:
permiten filtrar las potencias pares e impares de la exponencial:
A diferencia de seno y coseno, no alternan signos. Ambas series convergen para todo x.
14 · Transformar el argumento
Reemplazar x por axᵐ
Si una identidad es válida para |u|<R, al sustituir u=axᵐ la nueva condición es:
Por ejemplo:
La sustitución debe afectar todos los lugares donde aparece la variable, incluido el exponente.
15 · Ajustar potencias
Multiplicar o dividir por una potencia de x
Multiplicar una serie por xᵏ desplaza todos los exponentes. Por ejemplo:
También podemos dividir si la serie contiene el factor necesario. Como sen x comienza con x:
La expresión original no está definida en x=0, pero la serie revela una extensión continua cuyo valor allí es 1.
16 · Estrategia inversa
Reconocer la función a partir de una serie
Al leer una serie conviene buscar:
- Todos los factoriales: posible exponencial.
- Factoriales pares o impares y signos alternados: coseno o seno.
- Denominadores
ny alternancia: logaritmo. - Denominadores impares sin factorial: arcotangente.
- Coeficientes con producto descendente: serie binomial.
- Razón constante entre términos: geométrica.
Después se compara el argumento: x, 2x, −x² u otra sustitución.
17 · Generador recurrente
Evaluar la serie binomial sin recomputar coeficientes
function binomialParcial(alpha, x, N) {
let coeficiente = 1;
let potencia = 1;
let suma = 1;
for (let n = 1; n <= N; n += 1) {
coeficiente *= (alpha - n + 1) / n;
potencia *= x;
suma += coeficiente * potencia;
}
return suma;
}
console.log({
aproximacion: binomialParcial(0.5, 0.25, 12),
referencia: Math.sqrt(1.25)
});Una recurrencia reduce operaciones y evita números intermedios enormes. Aun así, el error de truncamiento y el redondeo deben analizarse por separado.
18 · No olvidar el dominio
La función puede existir donde su serie diverge
ln(1+x) está definido para todo x>−1, pero su serie de Maclaurin diverge cuando x>1. Del mismo modo, arctan x existe para todo real, mientras su serie centrada en cero tiene radio uno.
La expansión es una representación local. Para evaluar lejos del centro se puede:
- cambiar el centro;
- usar una identidad que reduzca el argumento;
- transformar algebraicamente la función;
- o elegir otro algoritmo numérico.
19 · Exploración interactiva
Laboratorio: catálogo en acción
Elegí una expansión, un punto y la cantidad de términos. Compará las sumas parciales con la función incluso cuando el punto queda fuera del intervalo de convergencia.
Series fundamentales
eˣ=∑xⁿ/n!
La serie exponencial converge para todo x.
La línea amarilla muestra las sumas parciales y la violeta el valor de la función.
20 · Comprensión
Confusiones frecuentes
«Todas las series de Maclaurin convergen para todo x»
No. Exponencial, seno y coseno sí; geométrica, logaritmo, arcotangente y binomial tienen radio finito.
«Seno y coseno usan todos los exponentes»
Seno usa exponentes impares; coseno, pares. Los demás coeficientes son cero.
«Sustituir x por 2x solo multiplica la serie por 2»
No. Cada potencia recibe su factor: (2x)ⁿ=2ⁿxⁿ.
«La serie binomial siempre es infinita»
Si el exponente es un entero no negativo, termina y se convierte en un polinomio.
«Si la función existe, la serie converge»
La función puede estar definida fuera del radio de su expansión centrada en cero.
«El último término es siempre una cota del error»
Solo bajo hipótesis específicas, como las de una serie alternada decreciente. El control general se estudiará en el tema siguiente.
21 · Práctica y síntesis
Ejercicios de transformación
Ejercicio 1: sustitución exponencial
Escribí la serie de Maclaurin de e³ˣ.
Ver solución
e³ˣ=∑ₙ₌₀∞(3x)ⁿ/n!=∑ₙ₌₀∞3ⁿxⁿ/n!. Converge para todo x.
Ejercicio 2: coseno transformado
Expandí cos(x²).
Ver solución
cos(x²)=∑ₙ₌₀∞(−1)ⁿx⁴ⁿ/(2n)!. El radio es infinito.
Ejercicio 3: derivar una serie conocida
Obtené una serie para 1/(1−x)².
Ver solución
Derivando ∑xⁿ: 1/(1−x)²=∑ₙ₌₀∞(n+1)xⁿ, válida para |x|<1.
Ejercicio 4: reconocer una función
Identificá x−x⁵/3!+x⁹/5!−x¹³/7!+···.
Ver solución
Es sen(x²)/x con extensión continua en cero: al sustituir u=x² en sen u y dividir por x aparecen exponentes 4n+1.
Ejercicio 5: intervalo logarítmico
¿Dónde converge la serie de ln(1−2x) obtenida desde ln(1+u)?
Ver solución
Con u=−2x, la serie es −∑ₙ₌₁∞(2x)ⁿ/n. La condición interior es |x|<1/2. En x=−1/2 converge a ln 2; en x=1/2 diverge. Intervalo: [−1/2,1/2).
Ideas para recordar
- Exponencial, seno y coseno poseen radio infinito.
- La geométrica es la fuente de muchas expansiones racionales.
- Logaritmo y arcotangente se obtienen integrando series geométricas.
- La serie binomial generaliza el binomio de Newton a exponentes reales.
- La paridad explica los exponentes presentes en seno, coseno, senh y cosh.
- Una sustitución transforma también la condición de convergencia.
- Las recurrencias generan términos con menos operaciones y menor riesgo de desbordamiento.
- La función puede existir en puntos donde su serie de Maclaurin diverge.
En el próximo tema aprenderemos a convertir estas aproximaciones en garantías mediante el resto de Taylor y cotas explícitas del error.