01 · De aproximar a garantizar
Una gráfica cercana no es una cota
El polinomio de Taylor comparte derivadas con la función en el centro, pero esa coincidencia no indica por sí sola cuántos decimales son correctos en otro punto.
Para convertir la aproximación en un resultado certificado necesitamos responder:
- ¿Cuál es la diferencia exacta entre función y polinomio?
- ¿Cómo puede acotarse sin conocerla de antemano?
- ¿En qué intervalo debe controlarse la derivada?
- ¿Qué grado garantiza una tolerancia dada?
- ¿Cómo se combina esta cota con el redondeo computacional?
02 · Definición del resto
La diferencia entre f y Pₙ
Para el polinomio de Taylor de grado N alrededor de c:
definimos:
De forma exacta:
El error absoluto de usar Pₙ(x) como aproximación es |Rₙ(x)|.
03 · Teorema de Taylor
La forma de Lagrange del resto
Si f posee derivadas adecuadas hasta orden N+1 en el intervalo entre c y x, existe un punto ξ entre ambos tal que:
El punto ξ normalmente es desconocido y depende de x y de N. La fórmula no se usa encontrándolo, sino acotando la derivada en todo el segmento.
04 · Desigualdad práctica
Reemplazar la derivada desconocida por M
Si conseguimos un número M tal que:
para todo t entre c y x, entonces:
La cota combina tres factores: el tamaño de la derivada, la distancia al centro elevada a una potencia y el crecimiento del factorial.
05 · Paso delicado
M debe controlar todo el intervalo
No basta evaluar |f⁽ᴺ⁺¹⁾(c)| ni |f⁽ᴺ⁺¹⁾(x)| sin justificar dónde alcanza su máximo. El punto ξ puede estar en cualquier lugar intermedio.
Un procedimiento seguro es:
- 1Determinar el segmento.
Usar
[c,x]o[x,c]según el orden. - 2Escribir la derivada.
Calcular o acotar
f⁽ᴺ⁺¹⁾(t). - 3Buscar una cota uniforme.
Puede usarse monotonía, valores extremos o una desigualdad conocida.
- 4Sustituir en Lagrange.
Recién entonces se compara con la tolerancia.
06 · Ejemplo exponencial
Aproximar e⁰·⁵ con error menor que 10⁻⁶
Para f(t)=eᵗ, todas las derivadas son eᵗ. Entre 0 y 0,5:
Por tanto:
Con N=6 la cota todavía supera 10⁻⁶. Con N=7 es aproximadamente 1,6·10⁻⁷, así que el polinomio de grado siete es suficiente.
07 · Seno y coseno
Una cota especialmente sencilla
Todas las derivadas de seno y coseno vuelven a ser ±sen o ±cos. En consecuencia:
para todo número real. Entonces:
Esta cota es global y no requiere maximizar una función diferente para cada intervalo.
08 · Otra forma del resto
Resto integral
Bajo hipótesis apropiadas, el resto también puede escribirse:
Si |f⁽ᴺ⁺¹⁾(t)|≤M, tomar valores absolutos y acotar la integral reproduce:
La forma integral resulta útil cuando se puede explotar mejor la variación de la derivada en lugar de reemplazarla inmediatamente por un máximo.
09 · Una cota alternativa
Usar Leibniz cuando la serie alterna
Si los términos de una serie de Maclaurin alternan, decrecen en magnitud y tienden a cero, el error queda acotado por el primer término omitido.
Por ejemplo, para 0≤x≤1:
Esta cota puede ser más directa y ajustada que una estimación general de derivadas. Siempre deben comprobarse las hipótesis de alternancia y decrecimiento.
10 · Cola conocida exactamente
Comparar Lagrange con el resto geométrico
Para f(x)=1/(1−x) y |x|<1:
La cola geométrica da el error exacto y suele ser preferible a Lagrange. El teorema general sigue siendo válido, pero una estructura especial puede ofrecer información más precisa.
11 · Cerca de una singularidad
Las cotas empeoran al acercarse a x=−1
Para f(x)=ln(1+x) y k≥1:
Si x<0, el denominador más pequeño del segmento [x,0] es 1+x. Una cota de Lagrange es:
Cuando x→−1⁺, esta cota crece. La singularidad de ln(1+x) en −1 limita la eficacia de una expansión centrada en cero.
12 · Diseñar la aproximación
Elegir N desde la tolerancia
Dada una cota B(N) y una tolerancia ε, buscamos el menor entero que satisfaga:
Como el factorial y la potencia dependen de N, rara vez se despeja con una fórmula elemental cómoda. Un algoritmo puede probar grados crecientes hasta encontrar el primero suficiente.
Es importante verificar que la cota efectivamente disminuya en la región de búsqueda y fijar un máximo de iteraciones.
13 · Redondeo decimal
Traducir cifras a error absoluto
Para garantizar el redondeo correcto a d decimales, una condición suficiente usual es:
Para cinco decimales se busca una cota inferior a 0,000005. Pedir simplemente 10⁻⁵ controla el orden del error, pero puede no asegurar el último redondeo.
Esta garantía de truncamiento todavía debe combinarse con el error de coma flotante.
14 · Intervalo certificado
Encerrar el valor verdadero
Si |Rₙ(x)|≤B, entonces:
En lugar de informar solo una aproximación, podemos devolver el intervalo:
Este formato hace explícita la incertidumbre matemática y permite verificar si una comparación o un redondeo está decidido por la precisión disponible.
15 · Mejorar antes de aumentar el grado
Elegir un centro más cercano
La cota contiene |x−c|ⁿ⁺¹. Reducir la distancia al centro puede ser mucho más efectivo que agregar muchos términos.
Para aproximar una función en una región amplia se pueden usar:
- distintas expansiones locales según el punto;
- reducción de argumento mediante identidades;
- simetrías y periodicidad;
- tablas de centros con coeficientes precomputados.
En software matemático, la elección de región y centro forma parte del algoritmo, no es un detalle puramente teórico.
16 · Información asintótica
El resto pequeño respecto de la última potencia
Bajo condiciones de diferenciabilidad, cerca del centro puede expresarse:
La notación o significa que:
Esta forma describe el orden local del error, pero no entrega por sí sola una constante numérica para un punto fijo. Lagrange es más útil cuando se necesita una garantía explícita.
17 · Antes y después del cálculo
Cotas a priori y a posteriori
- A priori
- Se calcula antes de evaluar el polinomio, usando derivadas, distancia y grado.
- A posteriori
- Usa información obtenida durante el cálculo, como términos sucesivos o diferencias entre aproximaciones.
Una diferencia pequeña entre Pₙ y Pₙ₊₁ no es automáticamente una cota del error: debe existir un teorema que vincule esa diferencia con toda la cola.
Las cotas a priori permiten planificar el costo; las a posteriori pueden adaptarse mejor al comportamiento observado.
18 · Implementación certificada
Buscar el grado y devolver la cota
function gradoParaExp(x, tolerancia, maximo = 170) {
const M = Math.exp(Math.max(0, x));
const distancia = Math.abs(x);
let potencia = 1;
let factorial = 1;
for (let N = 0; N < maximo; N += 1) {
potencia *= distancia;
factorial *= N + 1;
const cota = M * potencia / factorial;
if (cota <= tolerancia) return { grado: N, cota };
}
throw new Error("No se alcanzó la tolerancia");
}
console.log(gradoParaExp(0.5, 1e-6));El resultado incluye tanto el grado como la garantía. En producción también conviene informar la aproximación, el intervalo certificado y cualquier posible límite de redondeo.
19 · Exploración interactiva
Laboratorio: error real frente a cota
Elegí una función, un punto y un grado. La gráfica compara el error real —disponible aquí porque conocemos la función— con una cota demostrable.
Garantía de Taylor
eˣ alrededor de 0
Lagrange usa M=e^max(0,x) en el segmento entre 0 y x.
Las líneas muestran el error real y la cota en escala logarítmica; la cota debe permanecer por encima.
20 · Comprensión
Confusiones frecuentes
«El resto de Lagrange da el error exacto»
La fórmula contiene un punto desconocido. Al reemplazar su derivada por M obtenemos una cota, normalmente no el error exacto.
«M es la derivada evaluada en el centro»
Debe acotar la derivada en todo el segmento entre el centro y el punto evaluado.
«El primer término omitido siempre acota el error»
Solo en estructuras con un teorema específico, como una serie alternada decreciente.
«Una cota grande demuestra que la aproximación es mala»
No. Solo indica que esa cota no logra certificar un error pequeño; el error real puede ser mucho menor.
«Más grado siempre mejora el resultado computado»
Reduce el error teórico bajo las condiciones adecuadas, pero el redondeo puede limitar la mejora numérica.
«Controlar el resto controla todo el error»
Controla el truncamiento matemático. También deben considerarse representación y acumulación en coma flotante.
21 · Práctica y síntesis
Ejercicios de control del error
Ejercicio 1: seno
Acotá el error de aproximar sen(0,2) con x−x³/3!.
Ver solución
Este polinomio también es el Taylor de grado 4, porque el coeficiente de x⁴ es cero. Con M=1, |R₄(0,2)|≤0,2⁵/5!≈2,67·10⁻⁶.
Ejercicio 2: exponencial negativa
Para e⁻⁰·⁵ alrededor de cero, elegí una cota M.
Ver solución
En el segmento [−0,5,0], eᵗ≤1. Puede tomarse M=1, más ajustado que e⁰·⁵.
Ejercicio 3: cifras decimales
¿Qué tolerancia absoluta suficiente usarías para redondear correctamente a cuatro decimales?
Ver solución
Una condición suficiente es |Rₙ|<0,5·10⁻⁴=0,00005.
Ejercicio 4: cola geométrica
Acotá el error de aproximar 1/(1−0,3) con términos hasta x⁵.
Ver solución
El resto exacto es 0,3⁶/(1−0,3)≈0,00104143.
Ejercicio 5: detectar una cota inválida
Para aproximar e alrededor de cero, alguien usa M=1. ¿Es válido?
Ver solución
No. En el intervalo [0,1], la derivada eᵗ supera uno. Una elección sencilla válida es M=e.
Ideas para recordar
- El resto es la diferencia exacta
Rₙ=f−Pₙ. - Lagrange expresa el resto mediante una derivada de orden
N+1en un punto intermedio. Mdebe acotar esa derivada en todo el segmento.- La distancia al centro y el factorial gobiernan la disminución de la cota.
- Una estructura especial, como una cola geométrica o alternada, puede dar una cota mejor.
- El grado se elige resolviendo
B(N)≤ε. - Una cota permite encerrar el valor verdadero en un intervalo.
- La garantía de truncamiento debe combinarse con el error numérico.
Con estas herramientas, una aproximación mediante series deja de ser solo plausible: puede acompañarse de una garantía cuantitativa verificable. En el próximo tema integraremos selección de series, evaluación, visualización y control del error en una aplicación JavaScript.