Impedancias

01 · Punto de partida

El divisor perfecto que miente al conectar

Un divisor de 10 kΩ y 10 kΩ sobre 5 V entrega 2,5 V clavados. Lo medís con el multímetro y marca 2,50 V. Lo conectás a una carga de 10 kΩ y la tensión cae a 1,67 V: un tercio menos. Nada se rompió ni cambió: apareció la carga, y la fuente nunca estuvo pensada para entregar corriente sin pagarla en voltaje.

Para un programador es un viejo conocido: es el costo de llamar a una API. Una función con resultado perfecto en pruebas (vacío) se degrada cuando atiende cargas reales, y cuanto más pesada sea la respuesta, más se nota. Este tema da vocabulario y números para ese costo en electrónica: impedancia de salida (lo que la fuente «gasta» internamente) e impedancia de entrada (lo que la carga «pide»).

• ¿Qué son Zout y Zin, y qué es el equivalente de Thevenin?
• ¿Cuánto error produce una carga, y qué dice realmente la regla de 10×?
• ¿Cómo se mide la impedancia de salida de cualquier fuente?
• ¿Por qué el ADC y los cables también cuentan, y qué hace el seguidor?

02 · Zout y Zin

Zout, Zin y el equivalente de Thevenin

Cualquier fuente lineal, por complicada que sea por dentro, se comporta hacia afuera como una fuente ideal V₀ (la tensión en vacío) con una resistencia en serie Zout. Esa simplificación se llama equivalente de Thevenin, y alcanza para analizar todo lo de este curso.

Así, el divisor de 10k/10k sobre 5 V «es» una fuente de 2,5 V con 5 kΩ en serie (el paralelo de las dos resistencias: 10k ∥ 10k). Conectarle una carga forma un nuevo divisor: Zout arriba, Zin abajo.

En continua la impedancia es simplemente una resistencia con nombre nuevo. En alterna incorpora la reactancia de capacitores e inductores (Temas 11 y 23): el concepto es el mismo, y la cuenta también.

Mirá el patrón: las fuentes de potencia (reguladores, pilas) tienen Zout muy baja; las fuentes de información (sensores, divisores) la tienen alta, porque son resistencias de decenas de kΩ. Y las entradas de instrumentos y amplificadores tienen Zin muy alta, justamente para no molestar. El problema aparece cuando una fuente de información se conecta con algo de Zin moderada.

03 · La cuenta

La cuenta de la carga

Con el equivalente de Thevenin, la cuenta es un divisor de tensión. La tensión que llega a la carga RL es:

Si llamamos k = RL / Zout (cuántas veces mayor es la carga que la salida), el error relativo queda así:

Hay que leer bien lo que dice la regla. La regla de 10× (Zin ≥ 10 × Zout) es un criterio de «error de alrededor del 10 %»: con k = 10, el error es −9,1 %. Sirve para señales donde un 10 % no importa (una luz indicadora). Para medir bien, con 1 % de error hace falta k ≈ 100, y para 0,1 %, k ≈ 1000. La regla del 10 % no es la regla de la precisión.

04 · Transferencia

Voltaje o potencia: qué se quiere transferir

Hay una pregunta previa que casi nadie hace: ¿qué querés pasar de la fuente a la carga: tensión o potencia? Las dos reglas de diseño son opuestas.

La potencia en la carga es P = V₀² · RL / (Zout + RL)² y vale su máximo (V₀²/(4·Zout)) cuando k = 1. En la tabla de la sección 10 se ve: con k = 1, la carga recibe el 100 % de la potencia máxima posible, con k = 10 sólo el 33 %, y con k = 100 el 3,9 %. Una entrada de medición «gasta» poca potencia a propósito: ahí está su virtud.

Por eso en este curso casi siempre buscamos puenteo de tensión (Zin ≫ Zout), salvo cuando una carga real necesita corriente (un parlante, un motor, un LED): ahí manda la potencia, y la fuente debe tener Zout baja o habilitar un seguidor con capacidad de corriente.

05 · Medir Zout

Cómo medir Zout (cualquier fuente)

Si no tenés la hoja de datos, o la fuente es un circuito tuyo, Zout se mide con dos lecturas y una carga conocida:

1. 1
   Medí en vacío.

   Sin carga (solo el multímetro de 10 MΩ, que casi no pesa): esa es V₀.

2. 2
   Conectá una carga conocida RL.

   Una resistencia del orden de la Zout esperada, y volvé a medir: es V_c.

3. 3
   Calculá.

   Zout = RL × (V₀/V_c − 1). Es lo mismo que (V₀ − V_c)/I_c, con I_c = V_c/RL.

Con el divisor de 10k/10k: V₀ = 2,5 V y con una carga de 10 kΩ, V_c = 1,667 V. Zout = 10k × (2,5/1,667 − 1) ≈ 5 kΩ, igual que R1∥R2. El método sirve para pilas, fuentes, salidas de sensores y para tu propio circuito. Con una pila de 9 V que entrega 8,9 V sobre 100 Ω (en vacío 9,1 V), Zout ≈ 2,2 Ω.

Si tomás dos cargas conocidas (RL1 y RL2, con tensiones V1 y V2), podés despejar V₀ y Zout sin necesidad de medir en vacío: es el método de Thevenin del bloque de Python. Sirve cuando no podés dejar la fuente sin carga.

06 · Capacidad

Cuando aparece la capacidad: el RC escondido

Todo cable, pista, entrada y sonda tiene capacidad: unos pocos pF por cada entrada y alrededor de 100 pF por metro de cable. Esa capacidad, junto con la Zout de la fuente, forma un filtro RC pasa-bajos (Tema 5) que nadie dibujó en el esquema:

Es el mismo problema del Tema 8: la sonda de un osciloscopio (1 MΩ con 15 pF) carga con su capacidad, y una fuente de alta impedancia se vuelve lenta, redondea los flancos y recorta la amplitud de lo que mide. La conclusión práctica: una Zout alta limita el ancho de banda, y baja la frecuencia máxima que la fuente puede entregar sin distorsión.

07 · El ADC

La fuente de un ADC: fugas y capacidad de muestreo

La entrada de un ADC no es una resistencia pura. Para convertir, el chip conecta durante un instante una pequeña capacidad interna (en una placa Arduino, del orden de 14 pF) al pin, la carga a la tensión de la fuente y la desconecta. Eso trae dos efectos que dependen de la impedancia de la fuente (Rs):

Corriente de fuga

El pin pierde una pequeña corriente (hasta ≈ 1 µA en el peor caso de la hoja de datos; típicamente decenas de nA). Esa corriente cae sobre Rs: error = Ifuga × Rs. Con 10 kΩ y 1 µA son 10 mV (≈ 2 escalones de un ADC de 10 bits); con 100 kΩ son 100 mV (≈ 20 escalones).

Carga de la capacidad de muestreo

La capacidad interna se carga a través de Rs durante un tiempo corto de adquisición (unos microsegundos). Si Rs es grande, no llega a cargarse del todo y la lectura queda influida por el canal anterior. Con una reserva de capacidad en el pin (un capacitor de 100 nF), el salto lo absorbe esa reserva y el error cae a una fracción de escalón.

De ahí sale la recomendación de la hoja de datos de muchas placas: la fuente que alimenta un ADC debería tener Rs de unos 10 kΩ o menos. Un capacitor en el pin (como el del filtro del Tema 9) soluciona el asentamiento, pero no la fuga: para una fuente de alta impedancia hace falta un seguidor (sección siguiente).

08 · El seguidor

El seguidor, que rompe el dilema

El seguidor de tensión (Tema 16) es un circuito con un operacional que copia su entrada a la salida con ganancia 1, pero con una impedancia de entrada altísima (de megaohmios a gigaohmios) y una impedancia de salida de ohmios. Colocado entre la fuente y la carga, rompe el compromiso:

Un seguidor no amplifica la tensión (su ganancia es 1), pero sí «amplifica» la corriente: toma casi nada de la fuente y entrega la que la carga pida, hasta el límite del operacional (típicamente unos 20 mA). Para cargas más exigentes, hay que usar un transistor a la salida (curso 3) o un circuito de potencia.

09 · Simuladores

Dos experimentos: cargar una fuente y alimentar un ADC

El primero te deja variar la impedancia de salida de una fuente y la carga, con y sin seguidor, y muestra qué tensión llega. El segundo muestra cómo crece el error de lectura de un ADC con la impedancia de la fuente.

Recorrido guiado (8 minutos)

1. 1
   Pestaña ①, «Divisor 10k/10k» con carga de 100 kΩ.

   Zout = 5 kΩ, k = 20: 2,38 V y −4,8 %. El punto cae sobre la zona de «10× o más», donde la curva turquesa ya está arriba del 90 %.

2. 2
   Bajá la carga a 10 kΩ y a 1 kΩ.

   La curva turquesa se hunde: −33 % y −83 %. La curva naranja (potencia) sube hasta el pico en k = 1 (carga = Zout) y vuelve a caer.

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   Con 10 kΩ, activá el seguidor.

   La tensión vuelve a 2,50 V: el divisor ve 10 MΩ (error −0,05 %) y la carga ve 1 Ω. El precio es un operacional, la alimentación y una corriente limitada.

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   Bajá la carga a 100 Ω con el seguidor.

   Necesitaría 25 mA y el seguidor llega a unos 20 mA: aparece la advertencia. Un seguidor no es una fuente de potencia.

5. 5
   Elegí «Potenciómetro 100 kΩ (mitad)».

   Zout ≈ 25 kΩ. Con la carga de 100 kΩ, k = 4: −20 %. Un potenciómetro que se usa con carga necesita un valor menor o un seguidor.

6. 6
   Elegí «Pila de 9 V» (carga de 100 Ω).

   Con Zout de unos 2 Ω, k = 50 y el error es de 2 %: la pila sí es una fuente de potencia. Es la diferencia entre una fuente de energía y una de información.

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   Pestaña ②, Rs = 10 kΩ, 2 µs, fuga de 1 µA.

   La fuga produce 2 escalones de error: el límite de lo tolerable. Subí Rs a 100 kΩ y mirá cómo se dispara; el asentamiento también aparece. Poné 100 nF en el pin: el asentamiento se resuelve, pero la fuga queda.

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   Con fuga «típica» de 50 nA, subí Rs a 1 MΩ.

   Aun con una fuga chica, 1 MΩ da 50 mV (≈ 10 escalones). Para fuentes de alta impedancia, la solución es un seguidor en la entrada del ADC.

Preguntas para pensar

1. ¿Por qué un potenciómetro de 100 kΩ regula bien en vacío y mal con carga?
2. ¿Para qué carga la potencia es máxima, y por qué en una medición no se busca ese punto?
3. ¿Un capacitor de 100 nF en el pin del ADC resuelve el error de una fuente de 1 MΩ?

10 · En código

Impedancias con Python

Cuatro herramientas para predecir y medir: la cuenta de la carga con su potencia, la medición de Zout y el equivalente de Thevenin, el error de un ADC según su fuente, y el corte por capacidad.

Paso 1: la cuenta de la carga

def carga(v0, zout, rl):
    vout = v0 * rl / (zout + rl)                 # divisor entre la impedancia de salida y la carga
    error = (vout - v0) / v0 * 100
    p_carga = vout ** 2 / rl
    p_max = v0 ** 2 / (4 * zout)                 # máxima potencia posible (carga = Zout)
    return vout, error, p_carga / p_max * 100


print("Divisor 10k/10k a 5 V (V0 = 2,5 V, Zout = 5 kΩ):")
for k in (0.1, 0.2, 1, 2, 5, 10, 20, 100, 1000):
    rl = k * 5000
    vout, error, p = carga(2.5, 5000, rl)
    print(f"  RL = {rl:>10,.0f} ohm ({k:>6}x Zout): Vout = {vout:5.3f} V  error {error:6.1f} %  potencia {p:5.1f} % del máximo")

Con k = 10, el error es −9,1 %; con k = 100, −1 %. La potencia es máxima con k = 1 (la carga recibe el 100 % de lo posible) y baja después. Probá carga(5, 1, 100) para una pila.

Paso 2: medir Zout y el equivalente de Thevenin

def medir_zout(v_vacio, v_carga, r_carga):
    z = r_carga * (v_vacio / v_carga - 1)         # equivale a (V0 - Vc) / Ic con Ic = Vc / RL
    print(f"V0 = {v_vacio} V, con {r_carga:g} ohm marca {v_carga} V -> Zout = {z:.1f} ohm")
    return z


def thevenin(rl1, v1, rl2, v2):
    # Con dos cargas conocidas se despejan Zout y V0 (equivalente de Thevenin de la fuente)
    zout = (v1 - v2) / (v2 / rl2 - v1 / rl1)
    v0 = v1 * (1 + zout / rl1)
    print(f"Thevenin: V0 = {v0:.3f} V, Zout = {zout:.0f} ohm")
    return v0, zout


medir_zout(2.5, 1.667, 10e3)
medir_zout(9.1, 8.9, 100)           # pila de 9 V entregando ~89 mA a 100 ohm
thevenin(10e3, 1.667, 100e3, 2.381)

El primero da 4997 Ω (≈ 5 kΩ) y la pila, 2,2 Ω. Con las dos cargas del divisor, thevenin() recupera 2,500 V y 4997 Ω sin haber medido en vacío.

Paso 3: la fuente de un ADC

import math


def error_adc(rs, i_fuga=1e-6, t_s=2e-6, cext=0.0, cs=14e-12, salto=5.0, vref=5.0, bits=10):
    lsb = vref / 2 ** bits
    fuga = i_fuga * rs                                     # la corriente de fuga cae sobre la impedancia de la fuente
    if cext == 0:
        asentamiento = salto * math.exp(-t_s / (rs * cs))      # carga de la capacidad de muestreo a través de rs
    else:
        comparte = salto * cs / (cs + cext)                    # la reserva cext absorbe el salto de la capacidad
        asentamiento = comparte * math.exp(-t_s / (rs * (cs + cext)))
    return fuga / lsb, asentamiento / lsb


print("Error de lectura (en escalones de 10 bits) según la impedancia de la fuente (fuga máx. 1 uA, muestreo de 2 us):")
for rs in (1e3, 10e3, 100e3, 1e6):
    f0, a0 = error_adc(rs)
    f1, a1 = error_adc(rs, cext=100e-9)
    print(f"  Rs = {rs / 1e3:>6g} kΩ: fuga {f0:7.1f} | sin Cext: asentamiento {a0:8.2f} | con Cext = 100 nF: {a1:5.2f}")

Con 100 nF el asentamiento cae a 0,14 escalones para cualquier Rs, pero la fuga sigue creciendo con Rs. Probá error_adc(100e3, i_fuga=5e-8): con una fuga típica de 50 nA, 100 kΩ dan ≈ 1 escalón.

Paso 4: el corte por capacidad

def corte(rs, c_carga):
    return 1 / (2 * math.pi * rs * c_carga)


for rs, c, quien in ((100, 100e-12, "salida de un seguidor y un cable de 100 pF"),
                     (10e3, 100e-12, "divisor de 10 kΩ y un cable de 100 pF"),
                     (1e6, 15e-12, "fuente de 1 MΩ y sonda de 15 pF")):
    fc = corte(rs, c)
    print(f"{quien}: fc = " + (f"{fc / 1e6:.1f} MHz" if fc >= 1e6 else f"{fc / 1e3:.1f} kHz"))

Una fuente de 1 MΩ con una sonda de 15 pF corta en 10,6 kHz: no podés medir con ella una señal de 100 kHz. ¿Qué Zout necesitás para que un cable de 100 pF corte en más de 1 MHz? (R < 1,6 kΩ.)

11 · Analogía de programador

APIs con costo

La enseñanza es la misma que en una arquitectura de servicios: no te fíes de las mediciones en vacío. Un componente que se prueba solo, sin la carga real, entrega una promesa que se rompe en producción.

12 · Comprensión

Confusiones frecuentes

13 · Práctica guiada

Ejercicios de impedancias

Ejercicio 1: tres cargas, tres veredictos

Con carga(2.5, 5000, ...), calculá la tensión y el error para cargas de 100 kΩ, 10 kΩ y 1 kΩ. ¿Cuáles aceptarías?

Ejercicio 2: reconstruir una fuente

Una fuente de 5 V nominal entrega 4,2 V sobre 1 kΩ y 4,8 V sobre 10 kΩ. Con thevenin(), ¿cuánto vale su V₀ y su Zout? ¿Es una fuente de potencia?

Ejercicio 3: ¿cuánta carga acepta con 1 %?

Un divisor tiene Zout de 5 kΩ. ¿Qué carga mínima asegura un error menor al 1 %? ¿Y al 0,1 %?

Ejercicio 4: un ADC con una fuente de 47 kΩ

Un sensor con Zout de 47 kΩ se conecta directo a un ADC de 10 bits. Con error_adc(47e3) y con error_adc(47e3, cext=100e-9): ¿qué errores aparecen? ¿Qué harías?

Ejercicio 5: la capacidad del cable

Un sensor de 100 kΩ de salida se conecta con un cable que suma 100 pF. ¿A qué frecuencia corta? ¿Qué pasa con una señal de 16 kHz?

14 · Síntesis

Ideas para recordar

¿Listo para el Tema 11?

Podés avanzar si sos capaz de responder esto sin mirar:

• Explicar qué es Zout y Zin y dibujar el equivalente de Thevenin de un divisor.
• Calcular el error de cargar una fuente con una resistencia dada.
• Decir qué error deja la regla de 10× y qué k hace falta para 1 %.
• Medir Zout de una pila o de un divisor con dos lecturas.
• Explicar por qué un ADC pide una fuente de unos 10 kΩ o menos.
• Decir qué hace un seguidor y qué no hace.

Impedancias dominadas. Ahora, el nivel de continua: en el próximo tema, acoplo AC/DC con capacitores.