Filtros activos

01 · Punto de partida

Cuando −20 dB no alcanzan

El filtro anti-alias del Tema 23 (15 kΩ + 100 nF, f_c = 106 Hz) deja pasar el 21 % de una interferencia de 500 Hz. Si esa interferencia es fuerte, el ADC la va a ver igual. Hay dos caminos: poner otra etapa RC detrás de un seguidor, o usar un filtro de segundo orden cuya pendiente es de −40 dB por década. El segundo es un filtro activo: un operacional dentro de la red de resistores y capacitores. Cuesta un chip y rinde mucho más: a 500 Hz deja solo el 4 %.

Para un programador, es la diferencia entre un promedio exponencial y un filtro de dos polos: se pasa de «suavizar» a «formar» la respuesta. Y aparece un parámetro nuevo, el factor de calidad Q, que controla si la rodilla es redondeada, plana o con un pico.

• ¿Por qué un RC doble no puede dar una rodilla plana y un operacional sí?
• ¿Qué es Q y cómo se fija con la ganancia?
• ¿Cómo se diseña un Sallen-Key con valores comerciales?
• ¿Qué límites del Tema 21 reaparecen dentro del filtro?
• ¿Cuándo conviene un activo y cuándo un pasivo?

02 · Por qué

Por qué hace falta un operacional

La respuesta de cualquier filtro pasa-bajos de segundo orden tiene la forma:

La frecuencia propia f₀ ubica la rodilla y Q fija su forma. Lejos de f₀ todos caen igual (−40 dB por década), pero cerca de f₀ se comportan distinto:

Aquí está la razón de fondo: una red pasiva de resistores y capacitores no puede dar Q mayor que 0,5. Dos etapas RC (con o sin buffer) tienen polos reales, sin pico y con una rodilla muy suave (f_{−3 dB} = 0,64·f₀, el mismo 0,64 de las dos etapas con seguidor del Tema 23). Para obtener Q = 0,707 o más hacen falta polos complejos, y eso exige realimentación positiva: un operacional. Es decir: el activo no es un lujo, es el único modo de lograr una rodilla afilada sin usar inductores.

03 · Sallen-Key

El Sallen-Key pasa-bajos

La topología más usada. Dos resistores R en serie llevan la señal a la pata + del operacional; un capacitor C a masa en esa pata; y otro capacitor C desde el nodo intermedio a la salida, que es la realimentación positiva que da el pico. El operacional se configura como no inversor de ganancia G = 1 + R_f/R_g.

Con R y C iguales se deduce la transferencia completa (suponiendo un operacional ideal), con a = j·2π·f·R·C:

Dos observaciones. Primera: en el Sallen-Key de componentes iguales, la ganancia en la banda de paso es G, no 1: con G = 1,586 la señal sale 1,6 veces mayor, y el gráfico «normalizado» del filtro sigue la curva de la tabla del apartado anterior. Segunda: cerca de G = 3 el filtro es muy sensible. Si G = 2,8 (Q = 5) y la relación de resistores se corre un 1 %, Q pasa de 5,0 a 5,8; con G = 1,586 un corrimiento igual mueve Q de 0,71 a 0,72. Los filtros de Q alto exigen resistores de precisión; los de Q bajo toleran 1 %.

04 · Diseño

Diseño paso a paso

Hay dos recetas comunes. La de componentes iguales es la más simple de calcular; la de ganancia unitaria es la más sencilla de armar.

La versión de ganancia unitaria usa menos resistores y no depende de la relación de dos resistores, pero obliga a una relación de capacitores (2 : 1 para Q = 0,707) y a valores no estándar. En ambas, la tolerancia de los capacitores (±5 a ±10 %) mueve f₀ y Q: con capacitores de película de 5 % y resistores de 1 %, el resultado queda dentro de un 5 % de f₀.

Para filtros de más de segundo orden, se encadenan etapas con distinto Q (siguiente apartado). Y para el nivel de continua: en 5 V simples, la pata + del último resistor se conecta a V_ref en lugar de masa (Tema 22) si se quiere que el reposo esté en 2,5 V, o se acopla en alterna.

05 · Más orden

Más orden, otras formas y pasa-altos

Orden superior: se conectan etapas de segundo orden en cascada (cada una ya tiene su salida de baja impedancia, no se necesita buffer). Pero no se repiten etapas iguales: cada una debe tener su propio Q. Dos Butterworth de 2.º orden idénticos no dan un Butterworth de 4.º; dan un filtro cuya rodilla de −3 dB queda en 0,80·f₀ y con cierta caída en la zona de paso. El Butterworth de 4.º orden usa dos etapas con Q = 0,541 (G = 1,15) y Q = 1,307 (G = 2,23).

Butterworth

La banda de paso más plana posible. Es la opción por defecto, sobre todo para anti-alias de señales de amplitud (tensión, temperatura).

Bessel

Rodilla más lenta pero retardo casi constante: conserva la forma de las ondas. Preferible para pulsos y señales de forma importante. Sobrepaso casi nulo.

Chebyshev

Rodilla más empinada a costa de ondulación en la banda de paso. Se usa cuando la separación entre señal e interferencia es muy chica.

Pasa-altos Sallen-Key

Es la misma red con R y C intercambiados: los capacitores en serie y los resistores a masa (y a la salida). Con los mismos f₀ y Q, bloquea la continua y empina la pendiente hacia abajo: −40 dB por década por debajo de f₀. Útil como filtro anti-rumble o para quitar derivas.

06 · Límites

Los límites del operacional en el filtro

El filtro hereda los límites del Tema 21, y ahora importan más porque están dentro del lazo:

• GBW: la ganancia del operacional cae con la frecuencia, y eso corre la frecuencia propia y el Q. Regla práctica: GBW ≥ 100·G·f₀ para tener errores de pocos por ciento. Con un LM358 (1 MHz) el techo es de unos 6 a 10 kHz.
• Piso de atenuación: a frecuencias muy altas la salida del operacional deja de ser «ideal» (su impedancia de salida sube con la frecuencia) y parte de la señal se cuela por los capacitores: la pendiente de −40 dB por década deja de cumplirse y la atenuación se aplana en unos −40 a −60 dB. Para atenuaciones mayores se agrega un RC pasivo después.
• Slew rate y rieles: con Q alto, el pico de la respuesta puede amplificar una señal cercana a f₀ por Q y recortarla. El LM358 con 0,3 V/µs limita las amplitudes grandes en alta frecuencia.
• Offset y ruido: el offset del chip se amplifica por la ganancia en continua G y el ruido térmico de los resistores crece con R. Para señales de bajo nivel, resistores chicos y capacitores grandes.
• Alimentación simple: la entrada lleva su nivel de reposo en V_ref y el filtro debe caber en la ventana (Tema 22).

07 · Elegir

Activo o pasivo

Si un RC pasivo da la atenuación que necesitás, usalo. Si hace falta una rodilla mejor que la de dos RC o una atenuación fuerte cerca de la banda útil, un activo. Y si la pendiente que necesitás es muy grande, quizás convenga resolverlo en software: un ADC con sobremuestreo, un filtro digital (promedio, FIR, IIR) y apenas un RC de anti-alias analógico.

08 · Simuladores

Dos experimentos: la respuesta en frecuencia y el escalón

El primero compara el filtro Sallen-Key (con la ganancia que elijas y el operacional real o ideal) con un RC pasivo de primer orden y con los dos RC de Q = 0,5. El segundo muestra cómo responde a un escalón: cuánto se pasa y cuánto tarda en asentarse según Q.

Recorrido guiado (8 minutos)

1. 1
   Pestaña ①, «Butterworth 1 kHz».

   Con G = 1,56 (Q = 0,69) y f₀ = 1 kHz, la curva turquesa es plana hasta cerca de 1 kHz y cae con −40 dB por década. A 2 kHz deja 24 % contra 45 % del RC de primer orden (curva clara).

2. 2
   Movéte a 10 kHz.

   A una década sobre f₀, el Sallen-Key deja el 1 % (−40 dB) y el RC el 10 % (−20 dB). Esa es la «pared».

3. 3
   Pasá a «G = 1 (Q = 0,5)».

   Sin realimentación positiva, la rodilla se vuelve muy suave: f_{−3 dB} baja a 0,64·f₀ = 640 Hz, la curva de dos RC. A 2 kHz deja 20 %, contra 24 % del Butterworth y 45 % del RC de primer orden.

4. 4
   Pasá a «G = 2,5 (Q = 2)».

   Aparece un pico de +6,3 dB cerca de 0,94·f₀ y la rodilla de −3 dB sube a 1,49 kHz. Una señal cerca de f₀ sale amplificada.

5. 5
   Pasá a «G = 2,9: casi oscila».

   Q = 10: pico de +20 dB y un estrecho resonador. Cualquier tolerancia lo lleva a G = 3 y el circuito oscila.

6. 6
   Pasá a «LM358 a 50 kHz».

   Con f₀ = 50 kHz el GBW de 1 MHz es solo 20 veces f₀: la rodilla real baja a ≈ 40 kHz (−20 %) y el filtro deja de comportarse como el ideal. Con un TL072 (3 MHz) el error se reduce a 4 %.

7. 7
   Pestaña ②, «Q = 0,5».

   La salida sube sin pasarse de 1: es un doble RC. Con f₀ = 1 kHz sube del 10 al 90 % en 0,53 ms y se asienta (±2 %) en 0,93 ms, casi igual que un RC de primer orden con la misma rodilla (0,97 ms).

8. 8
   Recorré Q = 0,707, 1, 2 y 5.

   El sobrepaso sube a 4,3 %, 16 %, 44 % y 73 %, y aparece una oscilación amortiguada. Con Q alto el asentamiento crece porque el «timbre» tarda en apagarse: 0,95 ms con Q = 0,707, 2,3 ms con Q = 2 y 6,1 ms con Q = 5. Butterworth y Bessel (Q = 0,577) son el mejor compromiso.

Preguntas para pensar

1. ¿Qué G necesitás para Q = 1 y cómo lo lográs con dos resistores de la serie E12?
2. ¿Por qué el Sallen-Key con G = 2,9 es una mala idea en producción?
3. ¿Qué ganás y qué perdés al pasar de Q = 0,707 a Q = 0,577?

09 · En código

Filtros activos en Python

Cuatro herramientas: las propiedades de un segundo orden según Q, el Sallen-Key con GBW finito calculado desde los componentes, el diseño de ganancia unitaria con valores comerciales, y la comparación de órdenes para un anti-alias.

Paso 1: propiedades según Q

import math


def mag2(x, q):
    return 1 / math.sqrt((1 - x * x) ** 2 + (x / q) ** 2)


def f3db(q):                                   # (1-x^2)^2 + x^2/q^2 = 2
    b = 1 / q ** 2 - 2
    return math.sqrt((-b + math.sqrt(b * b + 4)) / 2)


def pico_db(q):
    return 0.0 if q <= 1 / math.sqrt(2) else 20 * math.log10(q / math.sqrt(1 - 1 / (4 * q * q)))


def sobrepaso(q):
    z = 1 / (2 * q)
    return 0.0 if z >= 1 else 100 * math.exp(-math.pi * z / math.sqrt(1 - z * z))


for g in (1, 1.56, 1.586, 2, 2.5, 2.8, 2.9):
    q = 1 / (3 - g)
    print(f"G = {g:5}: Q = {q:6.3f}, f-3dB = {f3db(q):.3f}*f0, pico {pico_db(q):5.1f} dB, sobrepaso {sobrepaso(q):5.1f} %, a 10*f0: {20 * math.log10(mag2(10, q)):.1f} dB")
print("Sensibilidad: G = 2,8 con +1 %:", round(1 / (3 - 2.8), 2), "->", round(1 / (3 - 2.8 * 1.01), 2), "; G = 1,586 con +1 %:", round(1 / (3 - 1.586), 3), "->", round(1 / (3 - 1.586 * 1.01), 3))

Es la tabla de la sección 02. Con G = 1,586, Q = 0,707 y f_{−3 dB} = f₀. Con G = 2,8 un 1 % de error en G lleva Q de 5,0 a 5,8 (+16 %); en cambio, con G = 1,586 casi no se nota.

Paso 2: el Sallen-Key con GBW finito

def h_sk(f, r, c, g, gbw=None):
    # Sallen-Key de R y C iguales; el operacional como integrador: ganancia efectiva g / (1 + j*2*pi*f*g/GBW)
    a = 1j * 2 * math.pi * f * r * c
    gc = g if gbw is None else g / (1 + 1j * 2 * math.pi * f * g / gbw)
    return gc / (a * a + (3 - gc) * a + 1)


def frecuencia_3db(r, c, g, gbw=None):
    h0 = abs(h_sk(1e-3, r, c, g, gbw))
    for k in range(0, 2800):
        f = 10 ** (k / 400)
        if abs(h_sk(f, r, c, g, gbw)) < h0 / math.sqrt(2):
            return f


def diseno_igual(f0, c, g=1.586):
    r = 1 / (2 * math.pi * f0 * c)
    return r


for f0, c in ((1000, 10e-9), (10000, 1e-9), (50000, 1e-9)):
    r = diseno_igual(f0, c)
    for nombre, gbw in (("ideal", None), ("LM358", 1e6), ("TL072", 3e6)):
        f3 = frecuencia_3db(r, c, 1.586, gbw)
        print(f"f0 = {f0:6d} Hz, R = {r / 1e3:5.2f}k, C = {c * 1e9:g} nF, {nombre:5s}: -3 dB en {f3:8.0f} Hz ({(f3 / f0 - 1) * 100:+5.1f} %)")

Con 1 kHz el GBW no importa (LM358: 0 %); con 10 kHz la rodilla baja 2 %; con 50 kHz, un 20 % con el LM358 y 4 % con el TL072. Es la regla GBW ≥ 100·G·f₀ en números.

Paso 3: ganancia unitaria con valores comerciales

def h_unit(f, r1, r2, c1, c2):
    s = 1j * 2 * math.pi * f
    return 1 / (1 + s * c2 * (r1 + r2) + s * s * r1 * r2 * c1 * c2)


def calcula_unit(f0, r, q=1 / math.sqrt(2)):
    w0 = 2 * math.pi * f0
    return 2 * q / (w0 * r), 1 / (2 * q * w0 * r)            # C1 (a la salida), C2 (a masa)


c1, c2 = calcula_unit(1000, 15e3)
print(f"Butterworth de 1 kHz con R = 15k: C1 = {c1 * 1e9:.1f} nF, C2 = {c2 * 1e9:.1f} nF")
for nombre, cc1, cc2 in (("exacto", c1, c2), ("15n + 6,8n", 15e-9, 6.8e-9), ("15n + 10n", 15e-9, 10e-9)):
    f0 = 1 / (2 * math.pi * 15e3 * math.sqrt(cc1 * cc2))
    q = 0.5 * math.sqrt(cc1 / cc2)
    lo, hi = 10.0, 1e5
    for _ in range(60):
        m = math.sqrt(lo * hi)
        lo, hi = (m, hi) if abs(h_unit(m, 15e3, 15e3, cc1, cc2)) > 1 / math.sqrt(2) else (lo, m)
    print(f"{nombre:11s}: f0 = {f0:6.0f} Hz, Q = {q:.3f}, -3 dB en {lo:6.0f} Hz, a 10 kHz deja {abs(h_unit(10000, 15e3, 15e3, cc1, cc2)) * 100:.2f} %")

Con 15 nF y 7,5 nF queda Butterworth exacto (−3 dB en 1.000 Hz). Con 15 nF + 6,8 nF (E12) el filtro tiene Q = 0,74 y rodilla en 1,10 kHz; con 15 nF + 10 nF, Q = 0,61 y rodilla en 735 Hz. Los valores E12 de los capacitores mueven bastante la rodilla.

Paso 4: ¿qué orden necesito?

def seg(x, q):
    return 1 / complex(1 - x * x, x / q)


qs4 = (0.5412, 1.3066)                                     # Butterworth de 4.º orden: dos etapas con estos Q
print("Ganancias de las etapas del 4.º orden:", [round(3 - 1 / q, 3) for q in qs4])
print("Anti-alias: fc = 100 Hz y una interferencia de 500 Hz (5*fc)")
for nombre, h in (("1.er orden (RC)", 1 / math.sqrt(1 + 25)),
                  ("2.º orden Butterworth", abs(seg(5, 1 / math.sqrt(2)))),
                  ("4.º orden Butterworth", abs(seg(5, qs4[0]) * seg(5, qs4[1]))),
                  ("2 Butterworth de 2.º iguales", abs(seg(5, 1 / math.sqrt(2))) ** 2)):
    print(f"  {nombre:30s}: deja {h * 100:6.3f} % ({20 * math.log10(h):6.1f} dB)")
lo, hi = 0.1, 10
for _ in range(60):
    m = math.sqrt(lo * hi)
    lo, hi = (m, hi) if abs(seg(m, 1 / math.sqrt(2))) ** 2 > 1 / math.sqrt(2) else (lo, m)
print(f"Dos etapas Butterworth iguales en cascada: -3 dB en {lo:.2f}*f0 (no 1,00)")

A 5·fc: 1.er orden 19,6 % (−14 dB), 2.º 4,0 % (−28 dB), 4.º 0,16 % (−56 dB). Dos etapas iguales de Q = 0,707 dan una rodilla en 0,80·f₀: no son un Butterworth de 4.º orden.

10 · Analogía de programador

Dos polos, un factor de calidad y un lazo que se muerde la cola

De hecho, un biquad digital y un Sallen-Key son el mismo objeto matemático (una función de transferencia con dos polos); lo que cambia es el medio. La tercera fila es la que más conviene tener presente: el Sallen-Key se vuelve oscilador por la misma razón que un IIR se vuelve inestable, cuando el factor de realimentación llega a su valor crítico.

11 · Comprensión

Confusiones frecuentes

12 · Práctica guiada

Ejercicios de filtros activos

Ejercicio 1: anti-alias serio

Un ADC muestrea a 1 kHz. Querés un Butterworth de segundo orden con f₀ ≈ 100 Hz, componentes iguales y C = 100 nF. ¿Qué R? ¿Qué par R_g/R_f de la E12? ¿Cuánto deja pasar a 500 Hz, comparado con un RC de primer orden?

Ejercicio 2: Q a mano

Un Sallen-Key de R y C iguales tiene R_g = 10 kΩ y R_f = 10 kΩ. ¿Cuánto valen G y Q? ¿Qué pico tiene? ¿Y si las resistencias tienen 5 % de tolerancia en el peor sentido?

Ejercicio 3: cuándo no

Hay que filtrar una señal de 2 V pico con f₀ = 100 kHz usando un LM358. ¿Sirve un Sallen-Key? Justificalo con dos límites.

Ejercicio 4: ganancia unitaria

Diseñá un Butterworth de ganancia unitaria de 2 kHz con R = 10 kΩ. ¿C1 y C2 exactos? ¿Qué valores E12 usarías y qué f₀ y Q resultan?

Ejercicio 5: diagnosticar síntomas

(a) Un Sallen-Key diseñado como Butterworth de 1 kHz tiene una rodilla en 640 Hz. (b) A 10 kHz tiene una rodilla un 20 % más baja que lo diseñado y usa un LM358. (c) La salida zumba a unos 1 kHz aun sin entrada.

13 · Síntesis

Ideas para recordar

¿Listo para el Tema 25?

Podés avanzar si sos capaz de responder esto sin mirar:

• Explicar por qué un RC doble no puede tener Q mayor que 0,5.
• Calcular R, C y G de un Sallen-Key Butterworth para una f₀ dada.
• Predecir f_{−3 dB} y el pico para un Q cualquiera.
• Diseñar un Sallen-Key de ganancia unitaria con valores E12 y estimar el error.
• Verificar si el operacional elegido sirve para la f₀ deseada.
• Decidir entre pasivo, activo o filtro digital.

Con filtros y ganancias dominados, queda medir bien lo más difícil: señales diminutas sobre un modo común enorme. En el próximo tema, el amplificador de instrumentación.