Filtros RC

01 · Punto de partida

Una señal que vive entre ruidos

Un sensor de temperatura cambia a lo sumo unas veces por minuto, pero su cable recoge 50 Hz de la red y ruido de decenas de kHz. Un micrófono necesita pasar desde 20 Hz y rechazar la continua de la polarización. Una salida PWM de 490 Hz tiene que convertirse en una tensión continua. En los tres casos hay que dejar pasar una banda de frecuencias y rechazar otra. La herramienta más simple es un filtro RC: un resistor y un capacitor.

Para un programador, un filtro RC es un promedio móvil exponencial en el mundo continuo: y += alfa * (x - y). De hecho, esa línea de código y el circuito comparten la misma ecuación diferencial; la sección 09 muestra la correspondencia exacta.

• ¿Por qué un resistor y un capacitor separan frecuencias?
• ¿Qué vale la frecuencia de corte y cuánto atenúa un filtro lejos de ella?
• ¿Cómo se ve el mismo filtro en el tiempo y cuánto tarda en «asentarse»?
• ¿Qué pasa cuando la fuente tiene resistencia de salida o el filtro alimenta una carga?
• ¿Qué componentes conviene usar y para qué sirve cada filtro?

02 · Divisor con frecuencia

Un divisor que depende de la frecuencia

Un capacitor se comporta como un resistor cuyo valor cambia con la frecuencia: su reactancia es X_C = 1/(2π·f·C). A frecuencia baja es enorme (casi un circuito abierto: la continua no pasa), y a frecuencia alta es chica (casi un cable). Si se lo coloca en un divisor con un resistor (Tema 4), el divisor reparte distinto según la frecuencia. Según dónde se ponga el capacitor, queda un pasa-bajos o un pasa-altos.

El punto de cruce, donde X_C = R, es la frecuencia de corte:

Con R = 1,5 kΩ y C = 100 nF: τ = 0,15 ms y f_c = 1.061 Hz. En ese punto la salida vale 1/√2 ≈ 70,7 % de la entrada, que son −3 dB (la potencia cae a la mitad). La fórmula dice algo útil para el diseño: solo importa el producto R·C. Se puede elegir cualquier R y ajustar C: 15 kΩ con 10 nF da la misma f_c que 1,5 kΩ con 100 nF.

03 · Pasa-bajos

El pasa-bajos: R en serie, C a masa

La señal entra por el resistor y la salida se toma sobre el capacitor. A baja frecuencia el capacitor es casi un circuito abierto y toda la tensión llega a la salida; a alta frecuencia lo cortocircuita a masa. Es el filtro de promediar, suavizar y eliminar ruido rápido.

Lo que hay que quedarse de esta tabla: una décima de f_c casi no se toca (−0,04 dB), en f_c pasa el 71 % con 45° de retraso, y lejos de f_c la atenuación crece 20 dB por cada década (un factor 10 en frecuencia es un factor 10 en amplitud). No es una pared: una señal al doble de f_c todavía pasa casi la mitad. Para pendientes mayores se usan más etapas o filtros activos (Tema 24).

04 · Pasa-altos

El pasa-altos: C en serie, R a masa

Es el espejo del anterior: el capacitor en serie bloquea la continua (es el capacitor de acople del Tema 22) y la salida se toma sobre el resistor. Deja pasar lo rápido y rechaza lo lento: sirve para sacar el nivel de continua, la deriva de un sensor o un zumbido de baja frecuencia, y para detectar cambios.

Con las mismas frecuencias relativas, la tabla del pasa-altos es la del pasa-bajos «espejada»: a f/f_c = 0,1 pasa el 10 % (−20 dB, +84°), en f_c el 71 % (+45°) y a f/f_c = 10 el 99,5 %. Combinar uno de cada tipo con f_c bien separadas da un pasa-banda: es lo que hace, sin saberlo, un amplificador de audio acoplado con capacitores en la entrada (pasa-altos) y limitado por el GBW (pasa-bajos).

05 · En el tiempo

Lo mismo, visto en el tiempo

Un filtro RC no solo corta frecuencias: también tarda en responder. Si la entrada pasa de golpe de 0 a V, el capacitor se carga a través del resistor y la salida sube con una exponencial: V(t) = V·(1 − e^−t/τ). Esta es la misma información que la respuesta en frecuencia, vista desde otro lado: f_c y τ son una sola cosa (f_c = 1/(2πτ)).

Tres reglas de bolsillo:

• Tiempo de subida (del 10 % al 90 %): ≈ 2,2·τ = 0,35/f_c. Con f_c = 1 kHz, 0,35 ms.
• Tiempo de establecimiento a medio LSB: τ·ln(2ⁿ⁺¹) para n bits de resolución. Para 10 bits, unos 7,6 τ. Si el filtro precede a un ADC, hay que esperar ese tiempo después de cambiar de canal (Tema 10).
• Retardo: en la banda de paso, el pasa-bajos retrasa la señal alrededor de τ (a f ≪ f_c). Es el precio del suavizado: el filtro necesita «ver» un rato de la señal para promediarla.

El compromiso es el de cualquier filtro de datos: un f_c bajo elimina más ruido pero responde más tarde. El ruido blanco que pasa es proporcional a la raíz del ancho de banda (√f_c), de modo que bajar f_c 100 veces baja el ruido 10 veces, pero multiplica por 100 el tiempo de respuesta.

06 · Fuente, carga y cascada

La fuente, la carga y la cascada

La fórmula f_c = 1/(2π·R·C) supone que el filtro lo alimenta una fuente ideal y que no tiene carga. En un circuito real, ninguna de las dos cosas es cierta, y los dos efectos aparecen enseguida.

Resistencia de la fuente R_s

Queda en serie con R. En un pasa-bajos, f_c = 1/(2π·(R + R_s)·C): una fuente de 1 kΩ en el ejemplo de 1,5 kΩ + 100 nF baja f_c de 1.061 a 637 Hz. Si la fuente es un sensor o un divisor, hay que tenerlo en cuenta (Tema 10); si es un operacional, es casi cero.

Carga R_L

En el pasa-bajos queda en paralelo con el capacitor: el filtro pierde ganancia (R_L/(R + R_L)) y sube su f_c (usa R∥R_L). Con R_L = 1 kΩ en el ejemplo, la ganancia en continua cae a 0,40 y f_c sube a 2,65 kHz. Regla: la carga debe ser 10 veces mayor que R, o poner un seguidor después (Tema 16).

Cascada sin buffer

Dos etapas iguales conectadas directamente interactúan: la segunda carga a la primera. La f_c del conjunto no es la de una etapa, sino ≈ 0,37 veces la de cada una. Con un seguidor entre las dos, cada etapa es independiente: −40 dB por década y f_c del conjunto = 0,64 veces la de cada etapa.

Entrada de un ADC

El capacitor de muestreo del ADC es una carga pulsante. Un filtro con R grande lo carga lento y falsea la lectura (Tema 10). Para un filtro anti-alias pegado al ADC, un R chico con un C grande, o un seguidor intermedio.

07 · Reales y aplicaciones

Componentes reales y aplicaciones

Los componentes reales se apartan del valor nominal, y el filtro se aparta con ellos:

• Tolerancia: los capacitores cerámicos comunes valen ±10 a ±20 %; un resistor de 1 %, ±1 %. La f_c hereda ambos: con 15 kΩ y 100 nF (f_c nominal = 106 Hz) y un capacitor de ±10 %, f_c queda entre 96 y 118 Hz. Si la f_c es crítica, hay que usar capacitores de película (±5 % o mejor) o ajustarla con un preset.
• Tipo de capacitor: los cerámicos C0G/NP0 son estables pero hasta unos 10 nF; los X7R cambian con la tensión y la temperatura; los electrolíticos (polarizados, con fugas, con tolerancias de −20 %/+80 %) sirven para acoples de audio de baja exigencia, no para fijar una f_c.
• Ruido: un resistor grande agrega ruido térmico (Tema 7); para filtrar señales de bajo nivel conviene R chica y C grande.

Las tres primeras caben en una línea de código; la última tiene truco: un RC solo suaviza el rebote pero deja un flanco lento, y entregado a un pin digital con umbral único puede repiquetear. Por eso se lo sigue de un disparador de Schmitt, como en el Tema 20.

08 · Simuladores

Dos experimentos: la respuesta en frecuencia y el filtrado de una señal

El primero dibuja la curva de un RC (pasa-bajos o pasa-altos) con la fuente y la carga reales que elijas, junto con la curva ideal. El segundo hace pasar una señal lenta con ruido por un pasa-bajos y muestra qué filtra, qué retrasa y qué destruye.

Recorrido guiado (8 minutos)

1. 1
   Pestaña ①, «Pasa-bajos 1,5k + 100n».

   f_c = 1,06 kHz. Con la frecuencia de prueba en 1 kHz la respuesta es 73 % (−2,8 dB, −43°): casi en el codo. La curva clara (ideal) y la turquesa (real) coinciden porque no hay fuente ni carga.

2. 2
   Movéte a 10 kHz y a 100 kHz.

   A 10 kHz queda 10 % (−20 dB) y a 100 kHz, 1 % (−40 dB). La pendiente es de 20 dB por década: una recta en la gráfica semilogarítmica. Fase cerca de −84°.

3. 3
   Pasá a «Con carga de 1 kΩ».

   La curva real baja 8 dB en la banda de paso (ganancia 0,40) y su codo se corre de 1,06 a 2,65 kHz. Es el efecto de la carga que el original llamaba «destruir el filtro».

4. 4
   Pasá a «Fuente de 1 kΩ».

   La resistencia de la fuente se suma a R: f_c real baja a 637 Hz, sin perder ganancia en continua. Con una fuente de 10 kΩ el codo cae a 138 Hz.

5. 5
   Pasá a «Pasa-altos 100k + 100n».

   f_c = 15,9 Hz. La curva sube con +20 dB por década y se aplana en 0 dB: a 1,6 Hz la respuesta es de 10 % y a 159 Hz, 99,5 %. La fase pasa de +90° a 0°.

6. 6
   Pasá a «PWM 33k + 100n».

   f_c = 48 Hz. A 490 Hz (la frecuencia del PWM) la respuesta es 9,8 % (−20 dB). Recordá que el rizado que queda es el de esa componente fundamental: ≈ 0,3 V pico, no 10 % de 5 V.

7. 7
   Pestaña ②, «Quitar ruido de 500 Hz».

   Señal de 10 Hz y ruido de 500 mV a 500 Hz, con f_c = 106 Hz. La salida conserva casi toda la señal (0,996 V de 1 V) y deja solo 21 % del ruido (104 mV). La señal sale con un retardo de 1,5 ms.

8. 8
   Probá «Ruido de red (50 Hz)» y «Demasiado filtro».

   Con f_c = 106 Hz, el ruido de 50 Hz casi no se toca (90 %): el filtro está muy por encima. Con R = 100 kΩ y C = 1 µF (f_c = 1,6 Hz) el ruido desaparece pero la señal de 10 Hz también queda en 16 %: filtrar de más.

Preguntas para pensar

1. Si querés eliminar el ruido de 50 Hz de una señal de 10 Hz con un RC, ¿qué tan baja tiene que ser f_c? ¿Qué pasa con la señal?
2. ¿Por qué un filtro con f_c bajo da una salida «más limpia» pero «tardía»?
3. Un RC alimentado por un sensor de 10 kΩ de resistencia de salida, ¿qué hace falta tener en cuenta?

09 · En código

Filtrar en Python

Cuatro herramientas: la respuesta en frecuencia (con fase), la respuesta al escalón y su equivalente digital, el efecto de la fuente y la carga con la cascada, y el diseño con valores comerciales.

Paso 1: respuesta en frecuencia

import math


def fc_rc(r, c):
    return 1 / (2 * math.pi * r * c)


def pasabajos(f, fc):
    x = f / fc
    h = 1 / math.sqrt(1 + x * x)
    return h, 20 * math.log10(h), -math.degrees(math.atan(x))


def pasaaltos(f, fc):
    x = f / fc
    h = x / math.sqrt(1 + x * x)
    return h, 20 * math.log10(h), 90 - math.degrees(math.atan(x))


fc = fc_rc(1500, 100e-9)
print(f"fc = {fc:.0f} Hz, tau = {1500 * 100e-9 * 1e3:.2f} ms")
for x in (0.1, 0.5, 1, 2, 10, 100):
    h, db, fase = pasabajos(x * fc, fc)
    a, adb, afase = pasaaltos(x * fc, fc)
    print(f"f/fc = {x:5}: pasa-bajos {h * 100:5.1f} % ({db:6.1f} dB, {fase:6.1f}°) | pasa-altos {a * 100:5.1f} % ({adb:6.1f} dB, {afase:5.1f}°)")

Es la tabla de la sección 03: fc = 1.061 Hz; en fc, 70,7 % (−3 dB) con ∓45°; a una década, −20 dB. El pasa-altos es el espejo.

Paso 2: el escalón y su equivalente digital

def escalon(r, c, fs, n=5):
    # y[k] = y[k-1] + alfa*(1 - y[k-1])  es el RC muestreado a fs; alfa = 1 - exp(-dt/tau)
    tau = r * c
    dt = 1 / fs
    alfa = 1 - math.exp(-dt / tau)
    y = 0.0
    print(f"tau = {tau * 1e3:.1f} ms, fs = {fs} Hz -> alfa = {alfa:.4f}")
    for k in range(1, n + 1):
        y += alfa * (1.0 - y)
        print(f"  muestra {k:2d} (t = {k * dt * 1e3:5.1f} ms): digital {y:.4f}  analógico {1 - math.exp(-k * dt / tau):.4f}")
    return alfa


escalon(15e3, 1e-6, 1000)                          # tau = 15 ms
tau = 1500 * 100e-9
print(f"Tiempo de subida 10-90 %: {2.2 * tau * 1e3:.2f} ms = 0,35/fc = {0.35 / fc_rc(1500, 100e-9) * 1e3:.2f} ms")
print("Constantes de tiempo para llegar a medio LSB de 10 bits:", round(math.log(2 ** 11), 1))
for fcut in (1, 5, 20):
    print(f"fc = {fcut:3d} Hz con fs = 1 kHz: alfa = {1 - math.exp(-2 * math.pi * fcut / 1000):.4f} (aprox. 2*pi*fc/fs = {2 * math.pi * fcut / 1000:.4f})")

El filtro digital y += alfa * (x - y) con alfa = 1 − e^−dt/τ reproduce exactamente la respuesta del RC en los instantes de muestreo. Para frecuencias de corte chicas respecto de fs, alfa ≈ 2π·fc/fs. Es el promedio móvil exponencial de cualquier librería de señales.

Paso 3: fuente, carga y cascada

def pasabajos_real(r, c, rs=0.0, rl=float("inf")):
    rserie = r + rs
    rth = rserie * rl / (rserie + rl) if rl != float("inf") else rserie
    ganancia = rl / (rserie + rl) if rl != float("inf") else 1.0
    return ganancia, fc_rc(rth, c)


for rs, rl in ((0, float("inf")), (1e3, float("inf")), (10e3, float("inf")), (0, 100e3), (0, 10e3), (0, 1e3)):
    g, f = pasabajos_real(1500, 100e-9, rs, rl)
    print(f"Rs = {rs / 1e3:4g}k, carga = {rl / 1e3:6g}k: ganancia en continua {g:.2f}, fc = {f:6.0f} Hz")

# Dos etapas iguales: con buffer y sin buffer
R, C = 1500, 100e-9
a, b = (R * C) ** 2, 3 * R * C                    # sin buffer: H = 1 / (a s^2 + b s + 1)
mag = lambda f: 1 / math.hypot(1 - a * (2 * math.pi * f) ** 2, b * 2 * math.pi * f)
lo, hi = 1.0, 1e5
for _ in range(60):
    m = math.sqrt(lo * hi)
    lo, hi = (m, hi) if mag(m) > 1 / math.sqrt(2) else (lo, m)
fc1 = fc_rc(R, C)
print(f"Una etapa: fc = {fc1:.0f} Hz;  dos con buffer: {fc1 * math.sqrt(math.sqrt(2) - 1):.0f} Hz (x0,64);  dos sin buffer: {lo:.0f} Hz (x{lo / fc1:.2f})")

Con 1 kΩ de carga la ganancia cae a 0,40 y fc sube a 2.653 Hz; con una fuente de 1 kΩ, fc baja a 637 Hz. Dos etapas iguales: con buffer, 0,64 de fc (683 Hz); sin buffer, 0,37 (397 Hz).

Paso 4: diseñar con valores comerciales

E12 = [10, 12, 15, 18, 22, 27, 33, 39, 47, 56, 68, 82]


def elegir_c(fc_hz, r_ohm):
    ideal = 1 / (2 * math.pi * r_ohm * fc_hz)
    candidatos = [v * 10 ** d * 1e-12 for d in range(0, 6) for v in E12]
    c = min(candidatos, key=lambda x: abs(math.log(x / ideal)))
    f_real = fc_rc(r_ohm, c)
    print(f"fc = {fc_hz} Hz con R = {r_ohm / 1e3:g}k: C ideal {ideal * 1e9:.1f} nF -> {c * 1e9:.1f} nF, fc real {f_real:.1f} Hz; con C de ±10 %: {f_real / 1.1:.1f} a {f_real / 0.9:.1f} Hz")
    return c


elegir_c(100, 15e3)                                # anti-alias para fs = 1 kHz
elegir_c(48, 33e3)                                 # PWM de 490 Hz
elegir_c(16, 100e3)                                # acople de audio
fpwm, fcp = 490, fc_rc(33e3, 100e-9)
h = pasabajos(fpwm, fcp)[0]
print(f"PWM de 5 V a {fpwm} Hz, fc = {fcp:.0f} Hz: la fundamental (4/pi * 2,5 V = {4 / math.pi * 2.5:.2f} V pico) queda en {4 / math.pi * 2.5 * h * 1000:.0f} mV pico")
print("Con 100k y 1 uF (fc = 1,6 Hz):", round(4 / math.pi * 2.5 * pasabajos(fpwm, fc_rc(100e3, 1e-6))[0] * 1000), "mV pico")

Para 100 Hz con 15 kΩ: 100 nF da 106 Hz (96–118 Hz con ±10 %); a 500 Hz atenúa a 21 %. Para el PWM, el rizado de la fundamental es de ≈ 0,3 V pico con 33 kΩ + 100 nF y de unos 10 mV con 100 kΩ + 1 µF (pero con un τ de 100 ms).

10 · Analogía de programador

Promedio exponencial, derivada y retardo

Las dos primeras filas son una equivalencia exacta, no una metáfora: el RC y la línea de código resuelven la misma ecuación diferencial, una en tiempo continuo y la otra muestreada. La séptima es la que más sorprende en el taller: dos módulos «correctos» por separado pueden fallar juntos si no se aíslan.

11 · Comprensión

Confusiones frecuentes

12 · Práctica guiada

Ejercicios de filtrado

Ejercicio 1: anti-alias

Un ADC muestrea a 1 kHz (Nyquist = 500 Hz). Diseñá un pasa-bajos con f_c ≈ 100 Hz y R = 15 kΩ. ¿Qué C? ¿Cuánto atenúa a 500 Hz? ¿Y con dos etapas con buffer?

Ejercicio 2: PWM a continua

Una salida PWM de 490 Hz y 5 V se convierte en tensión con un RC de f_c ≈ 48 Hz (33 kΩ + 100 nF). ¿Cuánto rizado queda? ¿Y si se quiere menos de 10 mV pico? ¿Qué se paga?

Ejercicio 3: sensor con resistencia de salida

Un sensor con 10 kΩ de resistencia de salida alimenta un RC de 1,5 kΩ + 100 nF que va a un ADC de 100 kΩ de entrada. ¿Qué f_c tiene el conjunto? ¿Qué hay que cambiar para que sea de 1 kHz?

Ejercicio 4: el acople de audio

Un micrófono se acopla con un capacitor de 100 nF a una entrada con 47 kΩ a V_ref (Tema 22). ¿Cuál es la frecuencia de corte inferior? ¿Cuánto baja la señal a 20 Hz? ¿Qué C hace falta para dejar pasar 20 Hz sin pérdida?

Ejercicio 5: diagnosticar síntomas

(a) Un RC de f_c calculada de 1 kHz muestra −3 dB en 640 Hz. (b) Dos RC iguales de 1 kHz cada uno, en cascada directa, dan un codo cerca de 400 Hz. (c) Tras el filtro de un ADC, la lectura tarda varios milisegundos en estabilizarse al cambiar de canal.

13 · Síntesis

Ideas para recordar

¿Listo para el Tema 24?

Podés avanzar si sos capaz de responder esto sin mirar:

• Calcular f_c y τ de un RC y la atenuación a una frecuencia dada.
• Distinguir un pasa-bajos de un pasa-altos por su esquema y su fase.
• Estimar el tiempo de asentamiento de un filtro frente a un ADC.
• Corregir f_c por la resistencia de la fuente y por la carga.
• Explicar por qué dos RC en cascada necesitan un buffer.
• Escribir el filtro digital equivalente.

La pendiente de 20 dB por década tiene un límite: para separar mejor, o para dar ganancia, hace falta un operacional dentro del filtro. En el próximo tema, los filtros activos.