Procesos en tiempo continuo

01 · Punto de partida

Entre paso y paso también pasa el tiempo

En el Tema 5 el tiempo avanzaba de a un paso: nada cambiaba entre n y n+1. Pero una llamada llega a las 9:03:27, una máquina falla un martes cualquiera a las 14:11. El tiempo continuo admite cambios en cualquier instante t ≥ 0.

La diferencia no es solo la unidad más fina: la simulación cambia de técnica. En vez de un for por pasos, se generan los instantes de salto y el estado queda fijo entre saltos.

• ¿Cuándo ocurre el próximo cambio: en el paso 7 o en t = 4,32?
• ¿Cuánto dura cada estado: la permanencia en 0 o en 1?
• ¿Qué tan rápido ocurren los saltos: la tasa λ, μ?
• ¿Evaluamos X(t) en cualquier t, no solo en enteros?

02 · Definición

¿Qué es un proceso continuo en el tiempo?

Todo proceso continuo combina tres piezas:

Los Tₖ son los instantes de salto (aleatorios) y xₖ los estados visitados. Entre Tₖ y Tₖ₊₁ nada cambia: la trayectoria es una escalera.

03 · Anatomía

Permanencias, reloj y muestreo

Cuatro ideas evitan confundir «continuo en el tiempo» con «continuo en los valores»:

Tiempo continuo

El reloj es real: los saltos caen en 2,17 o 9,03. No significa que X valga reales.

Estado discreto

Lo habitual aquí: X(t) ∈ {0, 1} o {0, 1, 2…} aunque t sea continuo. (Poisson y Markov continuas)

Permanencia

Tiempo en cada visita: se sortea con exponencial de tasa λ o μ. (Tema 12)

Muestreo

Mirar X(t) cada minuto es discretizar un continuo: útil, pero se pierden saltos intermedios.

04 · Ejemplos

Continuos en el tiempo que simularás

Todos son escaleras: tramos fijos + saltos en instantes aleatorios:

1. 1
   Máquina funciona/falla.

   X(t) ∈ {0, 1}. Falla con tasa λ, se repara con tasa μ. (Laboratorio)

2. 2
   Arribos acumulados.

   N(t) = 0, 1, 2… Solo sube de a 1 en cada Tₖ. (Poisson, Tema 8)

3. 3
   Cola en tiempo real.

   Sube con llegadas, baja con servicios, en segundos reales.

4. 4
   Stock con demanda continua.

   Baja de a unidades en instantes aleatorios; sube de golpe al reponer.

5. 5
   Temperatura.

   Continua en tiempo y en valores: requiere otras técnicas (fuera del núcleo Markov).

05 · Representación en Python

El continuo se programa por eventos

En Python, un proceso continuo son dos listas: instantes Tₖ y estados xₖ. Las esperas se sortean con exponenciales: −ln(1−u)/tasa. Entre eventos, X(t) no cambia.

import random, math

def espera(tasa, u):
    # Sorteo exponencial: permanencia media 1/tasa.
    return -math.log(1 - u) / tasa

random.seed(7)
lam = 0.5  # fallas por hora: permanencia media 2 h en 0
print([round(espera(lam, random.random()), 2) for _ in range(5)])

Subí lam a 2,0: las esperas se acortan (media 0,5). La tasa manda la velocidad del reloj.

De esperas a trayectoria escalera

Alternamos 0 (funciona, tasa λ) y 1 (fallado, tasa μ) hasta el horizonte T:

import random, math

def simular_maquina(T, lam=0.5, mu=1.0, semilla=7):
    # Devuelve (tiempos, estados): X(t) constante entre tiempos.
    random.seed(semilla)
    t, x = 0.0, 0
    tiempos, estados = [0.0], [0]
    while t < T:
        tasa = lam if x == 0 else mu
        t += -math.log(1 - random.random()) / tasa
        if t > T:
            break
        x = 1 - x
        tiempos.append(round(t, 2))
        estados.append(x)
    return tiempos, estados

T, E = simular_maquina(10)
print(T)
print(E)

06 · Exploración

Laboratorio: una máquina que falla y se repara

Máquina 0 = funciona (falla con tasa λ), 1 = fallada (se repara con tasa μ). Cada fila es una réplica hasta el horizonte T: el tramo bajo es trabajo, el alto es parada. Subí λ y verás más cortes; subí μ y los cortes se acortan.

El eje horizontal es tiempo real: los saltos caen en decimales, no en enteros. La disponibilidad es la fracción de T en estado 0 promediada sobre las 5 réplicas.

Preguntas para explorar

1. Con λ = 0,5 y μ = 1, ¿qué disponibilidad predice μ/(λ+μ)? ¿La simulada se acerca?
2. Duplicá ambas tasas (λ = 1, μ = 2). ¿Cambia la disponibilidad? ¿Y la cantidad de fallas?
3. Si mirás X(t) solo en enteros (muestreo), ¿podés perder una falla corta? ¿Qué implica?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: evaluar X(t) en cualquier t

Ejecutá esta escalera y evaluá X en t = 2,5 y t = 4. Notá que t no es entero.

tiempos = [0.0, 1.2, 3.1, 3.8]
estados = [0, 1, 0, 1]

def X(t):
    x = estados[0]
    for Tk, xk in zip(tiempos, estados):
        if Tk <= t:
            x = xk
        else:
            break
    return x

print(X(2.5), X(4.0))

Ejercicio 2: permanencia media

Sin ejecutar primero: con λ = 2, ¿qué permanencia media esperás en 0? Comprobala con 3000 sorteos.

import random, math

random.seed(3)
lam = 2.0
esperas = [-math.log(1 - random.random()) / lam for _ in range(3000)]
print("teórica:", 1 / lam)
print("simulada:", round(sum(esperas) / len(esperas), 3))

Ejercicio 3: disponibilidad simulada

Simulá la máquina hasta T = 100 con λ = 0,5 y μ = 1 y medí la fracción en 0. Compará con μ/(λ+μ).

import random, math

def disponibilidad(T, lam=0.5, mu=1.0, semilla=11):
    random.seed(semilla)
    t, x, en_cero = 0.0, 0, 0.0
    while t < T:
        tasa = lam if x == 0 else mu
        dt = -math.log(1 - random.random()) / tasa
        proximo = min(t + dt, T)
        if x == 0:
            en_cero += proximo - t
        t = proximo
        if t < T:
            x = 1 - x
    return en_cero / T

print("teoría:", round(1.0 / 1.5, 3))
print("simulada:", round(disponibilidad(100), 3))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema entraremos a los procesos de conteo: N(t) cuenta eventos y nunca baja.