Proceso de Poisson

01 · Punto de partida

Del conteo cualquiera al conteo con reglas

En el Tema 7 cualquier escalera que solo sube de a 1 era un conteo. Ahora imponemos las reglas que hacen útil al modelo: los incrementos en intervalos disjuntos son independientes, su distribución solo depende del largo del intervalo y los eventos no ocurren de a dos.

Ese conteo con reglas es el proceso de Poisson de tasa λ: la referencia contra la cual se comparan todos los arribos.

• ¿Lo llegado esta hora depende de lo llegado la anterior?
• ¿Importa dónde cae la hora o solo cuánto dura?
• ¿Cuántos llegan en t: qué distribución tiene N(t)?
• ¿Qué vale en promedio y cuánto varía?

02 · Definición

¿Qué es un proceso de Poisson?

Un conteo N(t) es Poisson(λ) si cumple tres condiciones:

La fórmula cerrada es P(N(t) = k) = e^(−λt)·(λt)^k/k!. De ella salen las dos huellas digitales de Poisson: media = λt y varianza = λt.

03 · Anatomía

Parámetro, incrementos y memoria

Cuatro ideas completan el retrato:

Tasa λ

El único parámetro: eventos por unidad de tiempo. Manda media, varianza y velocidad. (Tema 9)

Incrementos Po(λ·largo)

N(t) − N(s) ~ Po(λ(t−s)). Cada ventana se lee con la misma fórmula.

Sin memoria entre ventanas

Ventanas disjuntas son independientes: saber que llegaron muchos antes no cambia la próxima hora.

Esperas exponenciales

El tiempo entre arribos es Exp(λ). Poisson por conteo y exponencial por espera son el mismo modelo. (Temas 11–12)

04 · Ejemplos

Dónde Poisson funciona (y dónde no)

Poisson es la primera hipótesis a probar cuando los arribos parecen espontáneos:

1. 1
   Llamadas a un call center estable.

   Sin campañas ni horarios pico: λ llamadas por hora.

2. 2
   Pedidos a un servidor sin ráfagas.

   Tráfico de fondo con λ requests por segundo.

3. 3
   Decaimientos radiactivos.

   El ejemplo clásico de libro: átomos independientes.

4. 4
   Fallas espontáneas.

   Componentes que no envejecen ni se contagian fallas.

5. 5
   No Poisson: hora pico.

   Tránsito a las 8 h o mensajes tras un gol: λ(t) variable, va al Tema 14.

05 · Representación en Python

Poisson en dos líneas: esperas y conteo

En Python, un Poisson(λ) se genera con esperas exponenciales de media 1/λ y se lee con conteos N(t). La fórmula Po(λt) sirve para verificar.

import random, math

def generar_poisson(T, lam=1.0, semilla=7):
    # Arribos por esperas exponenciales de media 1/lam.
    random.seed(semilla)
    t, arribos = 0.0, []
    while True:
        t += -math.log(1 - random.random()) / lam
        if t > T:
            break
        arribos.append(round(t, 2))
    return arribos

a = generar_poisson(10, lam=1.0)
print("N(10) =", len(a))
print(a[:8])

Con λ = 1 y T = 10 se esperan ≈ 10 arribos. Otra semilla da otro N(10) del mismo Po(10).

Verificar con la fórmula

La probabilidad de k eventos en t es e^(−λt)(λt)^k/k!. Sin librerías, con matemática directa:

import math

def prob_poisson(k, lam=1.0, t=10.0):
    m = lam * t
    return math.exp(-m) * m**k / math.factorial(k)

for k in [0, 5, 10]:
    print(k, round(prob_poisson(k), 4))

06 · Exploración

Laboratorio: la distribución N(T) es Poisson

Fijamos el horizonte T y repetimos 300 veces el conteo N(T). Las barras son lo simulado; los puntos blancos, la teoría Po(λT). Movete λ: la campana se corre y se ensancha, pero media y varianza viajan juntas.

Cada barra es la fracción de réplicas con ese N(T). Si el modelo es Poisson, barras y puntos coinciden y media ≈ varianza ≈ λT.

Preguntas para explorar

1. Con λ = 1 y T = 10, ¿media y varianza simuladas son iguales? ¿Iguales a qué?
2. Subí λ a 4. ¿La distribución se corre a la derecha o se queda? ¿Se ensancha o se afina?
3. Generá nuevas réplicas con igual λ y T. ¿Barras o teoría: cuál se mueve?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: leer Po(λt)

Con λ = 2 y t = 5, calculá la media teórica y P(N = 0). Luego interpretá el 0.

import math

lam, t = 2.0, 5.0
m = lam * t
print("media:", m)
print("P(N=0):", round(math.exp(-m), 4))

Ejercicio 2: media ≈ varianza

Sin ejecutar primero: con 400 réplicas de Poisson(1, T = 8), ¿cerca de qué valores esperás media y varianza? Comprobalo.

import random, math, statistics

def N_T(T, lam, rnd):
    t, n = 0.0, 0
    while True:
        t += -math.log(1 - rnd()) / lam
        if t > T:
            return n
        n += 1

random.seed(9)
datos = [N_T(8, 1.0, random.random) for _ in range(400)]
print("media:", round(statistics.mean(datos), 2))
print("varianza:", round(statistics.pvariance(datos), 2))

Ejercicio 3: probabilidad de un intervalo

Con λ = 0,5, ¿qué probabilidad hay de ver exactamente 3 eventos en t = 4? ¿Y al menos 1?

import math

lam, t = 0.5, 4.0
m = lam * t
p3 = math.exp(-m) * m**3 / math.factorial(3)
print("P(N=3):", round(p3, 4))
print("P(N>=1):", round(1 - math.exp(-m), 4))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aislaremos la tasa de ocurrencia λ: qué significa, cómo se estima y cómo manda la velocidad.