Introducción a la teoría de colas

01 · Punto de partida

Del experimento a la fórmula (y de vuelta)

Durante 20 temas simulaste: generaste llegadas, procesaste salidas y mediste L y Wq. Ahora aparece una pregunta mágica: ¿y si esas medidas se pudieran predecir con una fórmula, sin simular? Esa es la teoría de colas: matemática de llegadas + espera + servicio que, bajo supuestos claros, entrega L, Wq y ρ exactos.

No reemplaza la simulación: la valida y la guía. Si tu simulador dice Wq=5 y la fórmula dice 5.1, dormís tranquilo; si dice 12, hay bug. Y para dimensionar rápido (“¿1 o 2 cajas?”), la fórmula responde en un renglón.

• ¿Qué tres piezas forman todo sistema de colas?
• ¿Qué cinco letras (L, Lq, W, Wq, ρ) resumen su rendimiento?
• ¿Cómo verifico mi simulador con una ley universal?
• ¿Cuándo la fórmula alcanza y cuándo hay que simular?

02 · Definición

Llegadas, espera y servicio: el trípode

03 · El puente

Simulación y teoría se auditan mutuamente

1. 1
   La fórmula valida.

   En casos markovianos (M/M/1, M/M/c) hay fórmulas exactas: tu simulador debe acercarse. Si no, el bug está en tu código, no en Erlang.

2. 2
   La simulación extiende.

   Con prioridades, capacidades finitas o redes, la fórmula no llega: el simulador validado explora lo real sin miedo.

3. 3
   Little audita siempre.

   L ≈ λW vale bajo supuestos amplísimos (conservación + régimen). Si tu corrida la viola mucho, algo está mal medido.

Modelo analítico

Fórmula cerrada bajo supuestos (llegadas Poisson, servicios exponenciales). Rápida y exacta donde vale.

Régimen (ρ < 1)

La teoría clásica habla del equilibrio estable: si llega más de lo que se atiende, no hay equilibrio que predecir.

Notación de Kendall

Código A/B/c/K/N/D del sistema (Tema 30): M/M/1 es el “Hola mundo” de las colas.

Validación cruzada

Simulación ≈ teoría en casos simples → luz verde para casos sin fórmula. (Temas 35–36)

04 · Ejemplos

Los mismos mundos, ahora con letras

05 · Representación en Python

Del simulador a la fórmula en tres líneas

Con λ y μ sacás ρ y el M/M/1 predice; con tu simulación verificás Little. El primer bloque predice, el segundo audita.

# M/M/1 estable: A=4 (λ=0.25), S=2 (μ=0.5)
lam, mu = 1/4, 1/2
rho = lam / mu
L = rho / (1 - rho)
W = L / lam
print(f"ρ={rho:.2f} L={L:.2f} W={W:.2f}")  # ρ=0.50 L=1.00 W=4.00

# Auditoría Little con números de tu simulador
lam, L, W = 0.25, 1.02, 4.0
print("λW =", round(lam * W, 2), "| L =", L, "| error:", round(abs(L - lam*W)/L*100, 1), "%")

06 · Exploración

Laboratorio: Little audita tu simulador

Simulamos A/S exactos hasta T=12 y calculamos L (área/12) y λW (llegadas/12 × vida media de completados). Las barras deben coincidir: si difieren mucho, hay inestabilidad (ρ>1), horizonte corto o bug. Estabilizá (A grande, S chico) y mirá el error derretirse.

Barras lima (L) y teal (λW) casi gemelas en régimen; separadas en avalancha. ρ>1 anticipa la divergencia.

Preguntas para explorar

1. Con A=4, S=2 (ρ=0.5), ¿el error es chico? ¿Qué dice de tu medición?
2. Con A=1, S=3 (ρ=3), ¿L y λW coinciden? ¿Por qué Little “falla” aquí?
3. ¿Qué tres condiciones pedirías para exigir error <10%?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: ρ decide

Con A=2, S=3, c=1 y c=2, ¿estable o no?

for c in [1, 2]:
    rho = (3 / 2) / c
    print(f"c={c} ρ={rho:.2f}", "estable" if rho < 1 else "inestable")

Ejercicio 2: auditar con Little

L=2.5, λ=0.5, W=5.0: ¿pasa la auditoría?

L, lam, W = 2.5, 0.5, 5.0
print("λW =", lam * W, "| error:", abs(L - lam*W) / L * 100, "%")

Ejercicio 3: M/M/1 de bolsillo

λ=0.25, μ=0.5: predecí L y W con las fórmulas del bloque Python.

lam, mu = 0.25, 0.5
rho = lam / mu
L, W = rho/(1-rho), (rho/(1-rho))/lam
print(f"ρ={rho} L={L} W={W}")  # 0.5, 1.0, 4.0

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema separaremos clientes y servidores: quién espera y quién atiende.