Proceso de llegada

01 · Punto de partida

El mismo promedio puede ser dos mundos

Dos bancos reciben 30 clientes por hora. En el primero caen uno cada 2 minutos, como un metrónomo. En el segundo caen de a rachas: 10 minutos vacíos y de golpe 8 juntos. ¿Cuál forma cola? El segundo, aunque el promedio λ sea idéntico.

Esa es la lección del proceso de llegada: no alcanza con decir “cuántos por hora”. Hay que decir cuántos (λ) y cómo de irregulares (variabilidad). El ritmo llena el servidor; la irregularidad llena la cola.

• ¿Cuántos llegan por unidad de tiempo (λ) y cada cuánto en promedio (A = 1/λ)?
• ¿Caen regulares, al azar poissoniano o en ráfagas?
• ¿Cómo convierto una lista de horarios en λ y en tiempos entre arribos?
• ¿Qué variabilidad asumo si no medí nada todavía?

02 · Definición

Tasa, interarribo y variabilidad

03 · El corazón: Poisson

Por qué el azar exponencial es el defecto

El proceso Poisson de tasa λ dice: en cada instante chiquito la chance de que caiga alguien es λ·Δt, sin importar lo que pasó antes. Sus interarribos son exponenciales de media 1/λ, y el nº que cae en un intervalo T es Poisson(λT). Es el modelo del “caen solos, sin cita y sin copiarse”.

1. 1
   Contar para estimar λ.

   N llegadas en T ⇒ λ̂ = N/T. Con 60 en 2 h, λ̂ = 30/h. Es tasa observada, no promesa.

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   Medir los huecos A.

   Restá horarios consecutivos. Su media debe dar ≈ 1/λ̂ y su CV te dice la letra: ~0 D, ~1 M, >1 G.

3. 3
   Sortear el próximo.

   Con M: A = -ln(1-U)/λ con U uniforme. Con D: A = 1/λ clavado.

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   Agendar en el FEL.

   Próxima llegada = reloj + A. Ese evento generará al siguiente: la cadena de llegadas se autoalimenta. (Temas 17–18)

Sin memoria

La exponencial olvida: si hace 10 min que no llega nadie, la espera restante sigue siendo Exp(λ). Solo la exponencial tiene esto.

Poisson(λT)

Nº de llegadas en T: media λT, varianza λT. Con λ=0.5/min y T=10, caen 5 ± √5.

CV y espera

A igual λ y μ, la espera crece con CV². Pasar de D (0) a M (1) ya multiplica Wq; las ráfagas lo disparan.

Lotes

A veces llega un grupo junto (colectivo, batch de jobs). Se modela tamaño de lote + proceso base: picos garantizados.

04 · Ejemplos

El mismo λ, tres calles distintas

1. 1
   Consultorio con turnos (D).

   Uno cada 15 min ⇒ λ = 4/h, A = 15 clavado, CV ≈ 0. Si la consulta dura 12 min, casi nunca hay cola.

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   Banco sin turno (M).

   30/h ⇒ λ = 0.5/min, E[A] = 2 min exponenciales. Caen 0, 1 o 3 en 2 min: esos choques hacen la fila aunque μ dé abasto.

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   Parada de colectivo (G con lotes).

   Cada bondi descarga 0–40 juntos cada 10 min. λ media parecida al banco, pero el lote es una ráfaga: CV ≫ 1 y cola instantánea.

05 · Representación en Python

De horarios a λ, de λ a futuros

Medir es restar horarios; simular es sortear interarribos. Con random.expovariate(λ) generás Poisson; con una constante, D.

# Estimar λ y CV desde horarios observados (min)
hots = [0.0, 1.8, 4.1, 5.7, 8.0, 9.3]
A = [b - a for a, b in zip(hots[:-1], hots[1:])]
lam = len(A) / (hots[-1] - hots[0])
media = sum(A) / len(A)
var = sum((x - media) ** 2 for x in A) / len(A)
print(f"λ̂={lam:.2f}/min E[A]={media:.2f} CV={var**0.5/media:.2f}")

# Generar 5 llegadas Poisson λ=0.5/min (media A=2)
import random
random.seed(23)
lam, t = 0.5, 0.0
for i in range(5):
    t += random.expovariate(lam)  # A ~ Exp(λ)
    print(f"L{i+1} en t={t:.2f} (A medio {1/lam})")
# Con D sería: t += 1/lam  (siempre 2.0)

06 · Exploración

Laboratorio: misma λ, distinto azar

Fijamos un horizonte T = 20 min y una tasa λ. Con Regular caen cada 1/λ clavado; con Poisson sorteamos A ~ Exp(λ); con Ráfagas mezclamos huecos cortos y largos (CV > 1). La línea muestra cada llegada como un palito; abajo, los interarribos. Subí λ y cambiá el régimen: verás que el conteo crece igual, pero los choques solo aparecen con azar.

Arriba: cada marca es una llegada en el tiempo. Abajo: barras de cada interarribo A (la línea punteada es 1/λ). Con Regular todas igualan la línea; con Poisson y Ráfagas se dispersan.

Preguntas para explorar

1. Con λ=0.5 y T=20, ¿cuántas llegan en Regular? ¿Y en Poisson (aprox.)? ¿Por qué rondan el mismo N?
2. En Regular, ¿hay algún interarribo menor a 1 min? ¿Y en Poisson con la misma λ? ¿Qué implica para la cola?
3. Pasá a Ráfagas con λ=0.5: ¿qué le pasa al hueco máximo y a los choques (A < 0.5)?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: estimar λ

En 2 horas cayeron 60 clientes. ¿λ por hora y por minuto? ¿E[A]?

N, T_h = 60, 2.0
lam_h = N / T_h
lam_m = lam_h / 60
print(f"λ={lam_h}/h = {lam_m:.2f}/min, E[A]={1/lam_m:.1f} min")

Ejercicio 2: sortear un Poisson

Con λ=0.5/min, ¿cómo sale un interarribo? Generá 3 y compará con el fijo D.

import random
random.seed(1)
lam = 0.5
print([round(random.expovariate(lam), 2) for _ in range(3)], "vs D:", [1/lam]*3)

Ejercicio 3: contar en un intervalo

Si λ=0.5/min, ¿cuántas espero en 10 min? ¿Con qué dispersión?

lam, T = 0.5, 10
media = lam * T
print(f"media {media}, desvío {media**0.5:.2f} (Poisson: var = media)")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema mediremos la otra mitad del trípode: el proceso de servicio.