Proceso de servicio

01 · Punto de partida

La misma velocidad media, dos cajas distintas

Dos cajas atienden 30 clientes por hora en promedio. La primera tarda siempre 2 minutos. La segunda tarda 30 segundos con casi todos y 12 minutos con uno de cada diez (el trámite trabado). ¿Cuál deja fila? La segunda, aunque su μ sea idéntico.

Esa es la lección del proceso de servicio: no alcanza con decir “atiendo tantos por hora”. Hay que decir cuántos (μ) y cuán desparejos (variabilidad de S). La tasa μ abre la capacidad; la variabilidad la desperdicia en esperas.

• ¿Cuánto dura una atención (S) y cuántas salen por hora si nadie espera (μ = 1/E[S])?
• ¿Son todas parecidas o hay enanos y gigantes mezclados?
• ¿Cómo paso de tiempos cronometrados a μ y a su dispersión?
• ¿Qué variabilidad asumo si todavía no medí nada?

02 · Definición

Tiempo, tasa y desparejura

03 · El corazón: el gigante bloquea

Por qué la varianza de S duele tanto

Cuando un cliente entra a servicio, el simulador sortea su S y agenda su salida en t + S. Si S sale gigante, todos los que esperan pagan ese gigante: es el bloqueo de cabeza de línea. La fórmula de Pollaczek-Khinchine lo resume para M/G/1: Wq crece con (1 + Cs²). Pasar de D (0) a M (1) duplica Wq; una mezcla con gigantes la multiplica.

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   Cronometrar solo atención.

   De “empiezo a atenderte” a “terminé”. La espera en cola (Wq) no es S: mezclarlas infla μ.

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   Estimar μ y Cs².

   μ̂ = N/ΣS (inversa de la media). Cs² = varianza/media². Con [2,2,2] Cs²=0; con [0.5,0.5,12] Cs²≫1.

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   Sortear el fin.

   Con M: S = -ln(1-U)/μ. Con D: S = 1/μ. Con mezcla: primero el tipo (90/10), luego su Exp.

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   Liberar o encadenar.

   En t+S el servidor queda libre o toma al siguiente sin pausa. Ese encadenado propaga el atraso del gigante.

Erlang-k

Suma de k exponenciales de tasa kμ: media 1/μ pero Cs² = 1/k. Más etapas ⇒ más parejo. k=1 es M, k→∞ es D.

Sin memoria (solo M)

Si lleva 5 min atendiendo, lo que falta sigue siendo Exp(μ). Con D o con gigantes no: lo que queda depende de lo que va.

Mezcla / hiperexponencial

Con prob. p, S rápido; con 1−p, S lento. Misma media que M pero Cs² > 1: el laboratorio muestra al gigante pintado.

ρ manda la estabilidad

ρ = λ/(cμ). Si E[S] sube, μ baja y ρ se acerca a 1: la misma λ que andaba ahora avalancha.

04 · Ejemplos

La misma μ, tres mostradores

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   Cajero automático (D).

   S = 1 min clavado ⇒ μ = 60/h, Cs² = 0. Seis clientes seguidos tardan 6 min exactos, sin sorpresas.

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   Caja de banco (M).

   S ~ Exp con media 2 min ⇒ μ = 30/h, Cs² = 1. Hay de 20 segundos y de 7 minutos: el makespan de 6 ronda 12 ± √.

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   Soporte con trabados (G).

   90% en 1 min + 10% en 11 min ⇒ media 2, μ = 30/h, Cs² ≫ 1. Casi siempre vuela, pero cuando cae el de 11, la fila explota.

05 · Representación en Python

De cronometrajes a μ, de μ a futuros

Medir es promediar S e invertir; simular es sortear S. Con random.expovariate(μ) generás M; con una constante, D; con una moneda previa, mezcla G.

# Estimar mu y Cs2 desde tiempos de atención S (min)
S = [0.5, 0.5, 0.5, 6.5]
media = sum(S) / len(S)
var = sum((x - media) ** 2 for x in S) / len(S)
print(f"E[S]={media:.2f} mu={1/media:.2f}/min Cs2={var/media**2:.2f}")

# Generar 6 servicios: M puro vs mezcla 90/10 con misma media 2
import random
random.seed(24)
mu = 0.5  # media 2 min
print("M:", [round(random.expovariate(mu), 2) for _ in range(6)])
rap, lento = 1/0.9, 1/0.1  # medias 1.11 y 10 -> mezcla media 2
mez = [(random.expovariate(1/rap) if random.random() < 0.9 else random.expovariate(1/lento)) for _ in range(6)]
print("G:", [round(x, 2) for x in mez])

06 · Exploración

Laboratorio: misma μ, distinto S

Un servidor atiende N trabajos seguidos (cola inicial, sin llegadas nuevas) con S medio fijo. Con Regular todos miden igual; con Exponencial se dispersan; con Mezcla hay enanos y un gigante ocasional (pintado de naranja). La barra inferior es el makespan: misma media, pero el gigante se come la línea.

Una sola fila = el servidor; cada bloque = un trabajo con su S. Naranja = el gigante (S máximo). Todos los regímenes comparten el mismo S medio pedido.

Preguntas para explorar

1. Con N=6 y S medio 3, ¿makespan en Regular? ¿Y en Exponencial (aprox.)? ¿Por qué rondan lo mismo?
2. En Regular, ¿cuánto pesa el máximo sobre el makespan? ¿Y en Mezcla cuando aparece el gigante?
3. Si λ = 0.25/min y S medio = 3 (μ ≈ 0.33), ¿ρ con c=1? ¿Y si el gigante duplica E[S] un rato?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: estimar μ

Cronometraste S = [2, 1, 3, 2] min. ¿E[S] y μ por hora?

S = [2, 1, 3, 2]
media = sum(S) / len(S)
print(f"E[S]={media} min, mu={60/media:.1f}/h")

Ejercicio 2: sortear un fin de servicio

Son las t=10 y μ=0.5/min (M). ¿Cuándo termina el que empieza ahora? Compará con D.

import random
random.seed(2)
mu, t = 0.5, 10.0
print("M termina:", round(t + random.expovariate(mu), 2), "vs D:", t + 1/mu)

Ejercicio 3: ρ decide con S

λ=0.25/min, S medio 3 (c=1) y luego S medio 5: ¿estable?

lam = 0.25
for E in [3, 5]:
    print(f"E[S]={E} rho={lam/(1/E):.2f}")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema pondremos orden en la espera: la disciplina de la cola.