Modelo M/M/1

01 · Punto de partida

El único que se resuelve en un renglón

Poisson para llegar, exponencial para atender, un servidor, cupo infinito, FIFO. Con esos cinco supuestos nace el M/M/1: el único sistema con distribución exacta simple (geométrica), medias exactas y hasta distribución del tiempo en sistema. Todo lo demás —M/G/1, prioridades, redes— se mide contra él.

Su rol en tu carrera de simulador es el de testigo: si tu código con arribos Exp y servicios Exp no replica sus números en régimen, el bug es tuyo, no de Erlang.

• ¿Qué supuestos definen al M/M/1 y qué pasa si ρ ≥ 1?
• ¿Cómo son Pn, L, Wq con solo (λ, μ)?
• ¿Cómo valido mi simulador contra sus fórmulas?
• ¿Qué me dice P0 y qué me dice la cola de la distribución?

02 · Definición

Supuestos, distribución y medidas

03 · El corazón: nacimiento y muerte

Balance que pare una geométrica

En equilibrio, el flujo que sube de n−1 a n (λP_n−1) iguala al que baja de n a n−1 (μP_n). De ahí P_n = ρP_n−1 y, normalizando, la geométrica. Es un proceso de nacimiento y muerte con tasa de nacimiento λ y de muerte μ constantes: el más simple que existe.

1. 1
   Verificar ρ < 1.

   Sin estabilidad no hay distribución estacionaria: la cadena se escapa a infinito.

2. 2
   Plantear balance.

   λP₀ = μP₁, (λ+μ)P_n = λP_n−1 + μP_n+1: de cada corte sale P_n = ρⁿP₀.

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   Normalizar.

   Σρⁿ = 1/(1−ρ) ⇒ P₀ = 1−ρ. Serie geométrica mediante.

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   Derivar medias.

   L = ΣnP_n = ρ/(1−ρ); W = L/λ (Little); Wq = W − 1/μ.

PASTA

Poisson Arrivals See Time Averages: el que llega ve la distribución P_n. Por eso P(esperar) = 1 − P₀ = ρ.

W ~ Exp(μ−λ)

El tiempo en sistema es exponencial de tasa μ−λ. P(W > t) = e^{−(μ−λ)t}: percentiles directos.

Ergodicidad

Promedio temporal = promedio poblacional: tu simulación larga converge a estas fórmulas. Con T corto, no.

Sensibilidad

Todo depende de ρ, no de λ y μ por separado: (λ=1, μ=2) y (λ=50, μ=100) dan igual L, distinto W.

04 · Ejemplos

Tres M/M/1 con nombre

1. 1
   Caja única poissoniana.

   λ = 20/h, S medio 2 (μ = 30/h): ρ ≈ 0.67, L ≈ 2, Wq ≈ 4 min, P₀ ≈ 0.33.

2. 2
   Impresora.

   λ = 10/h, S medio 3 (μ = 20/h): ρ = 0.5, L = 1, W = 6 min. La mitad no espera.

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   Helpdesk nocturno.

   λ = 2/h, S medio 15 min (μ = 4/h): ρ = 0.5 otra vez: igual L, W cuatro veces mayor (escala).

05 · Representación en Python

Una función mm1 y un validador

La teoría cabe en un dict; la validación en un bucle Poisson + Exp con c = 1.

# Todo M/M/1 en una función
def mm1(lam, mu):
    rho = lam / mu
    assert rho < 1, "sin régimen"
    return {"rho": rho, "P0": 1-rho, "L": rho/(1-rho),
            "Lq": rho**2/(1-rho), "W": 1/(mu-lam),
            "Wq": lam/(mu*(mu-lam))}

print(mm1(0.25, 0.5))

# Validar P0, L y Wq simulando (T largo, semilla fija)
import random
random.seed(31)
lam, mu, T = 0.25, 0.5, 500.0
t, libre, area, prev, wqs, idle = 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, [], 0.0
N, evs = 0, []
while t < T:
    t += random.expovariate(lam)
    ini = max(t, libre)
    libre = ini + random.expovariate(mu)
    wqs.append(ini - t)
print(f"Wq sim={sum(wqs)/len(wqs):.2f} vs {lam/(mu*(mu-lam)):.2f}")

06 · Exploración

Laboratorio: la geométrica aparece sola

Simulamos M/M/1 hasta T = 200 (semilla = réplica) y medimos la fracción de tiempo en cada N (barras teal) contra Pn = (1−ρ)ρn (barras lima). Subí λ con S fijo: la cola de la distribución se alarga y P₀ se hunde.

Parejas por N: lima = teoría geométrica, teal = fracción de tiempo simulada. Con ρ alta la convergencia pide T largo.

Preguntas para explorar

1. Con ρ=0.5: ¿P₀ sim ≈ 0.5? ¿P₃ ≈ 0.06? Cambiá de réplica: ¿cuánto tiembla?
2. Con ρ=0.75 (λ=0.375, S=2): ¿L teórica? ¿La sim la alcanza con T=200?
3. ¿Por qué con ρ=0.9 las barras altas (N≥6) difieren más entre réplicas?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: tabla M/M/1

λ=0.25, μ=0.5. Calculá P₀, P₂, L y W con tu función.

lam, mu, rho = 0.25, 0.5, 0.25/0.5
print(f"P0={1-rho} P2={(1-rho)*rho**2:.3f} L={rho/(1-rho)} W={1/(mu-lam)}")

Ejercicio 2: percentil de W

Con μ−λ = 0.25, ¿P(W > 8)? ¿W tal que P(W > w) = 5%?

import math
r = 0.25
print(f"P(W>8)={math.exp(-r*8):.3f} w95={-math.log(0.05)/r:.1f}")

Ejercicio 3: escala con igual ρ

(λ=1, μ=2) vs (λ=50, μ=100): ¿L y W en cada uno?

for lam, mu in [(1, 2), (50, 100)]:
    print(f"lam={lam} L={lam/(mu-lam):.1f} W={1/(mu-lam):.3f}")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema escalamos la fórmula: el modelo M/M/c.