Modelo M/M/c

01 · Punto de partida

El hermano mayor del M/M/1

Un call center con 8 agentes no es “ocho M/M/1”: es un M/M/c con fila única y pooling. Con la misma oferta a = λ/μ = 6, ocho separados colapsan (ρ = 0.75 cada uno con su racha) y ocho unidos respiran. La diferencia la escribe Erlang C: la probabilidad de esperar.

Este modelo es la calculadora de dimensionamiento: dado λ y μ, dice el c mínimo estable y el c que cumple el SLA (“80% en 20 s”).

• ¿Qué supuestos definen al M/M/c y qué es la oferta a?
• ¿Cómo se calcula C(c,a) y qué significa?
• ¿Cómo paso de C a Lq, Wq, W y L?
• ¿Qué c elijo para un SLA dado?

02 · Definición

Oferta, Erlang C y medidas

03 · El corazón: muerte por tramos

Nacer a λ, morir a min(n,c)μ

Con n < c hay n servidores activos (muerte nμ); con n ≥ c todos trabajan (muerte cμ fija) y la cola crece. El balance por tramos da P₀, de P₀ sale C(c,a) y de C salen todas las medias. Es el mismo nacimiento-muerte del M/M/1 con techo de servicio.

1. 1
   Calcular a y ρ.

   a = λ/μ; ρ = a/c < 1 o no hay régimen. c mínimo = ⌊a⌋ + 1.

2. 2
   Erlang C.

   C = [a^c/(c!(1−ρ))] / [Σ_k<c a^k/k! + a^c/(c!(1−ρ))].

3. 3
   Medias.

   Lq = Cρ/(1−ρ); Wq = Lq/λ; W = Wq + 1/μ; L = Lq + a.

4. 4
   Dimensionar por SLA.

   P(Wq > t) = C·e^{−(cμ−λ)t}: subir c hasta cumplir “X% en t segundos”.

P₀

P(sistema vacío) = 1/[Σ_k<c a^k/k! + a^c/(c!(1−ρ))]. El denominador de Erlang C.

Economías de escala

A igual ρ, más c ⇒ menos espera: un M/M/8 con ρ=0.9 espera menos que un M/M/2 con ρ=0.9. Lo grande absorbe rachas.

SLA “X% en t”

P(Wq ≤ t) = 1 − C·e^{−(cμ−λ)t}. La fórmula con la que se venden call centers (80/20).

M/M/1 como caso

Con c = 1, C(1,a) = ρ y Wq = ρ/(μ−λ): se recupera el Tema 31. Un solo modelo, dos capítulos.

04 · Ejemplos

Tres M/M/c con placa

1. 1
   Call center 8 agentes.

   λ = 6/min, S = 1 min (a = 6, ρ = 0.75): C ≈ 0.4, Wq ≈ 0.2 min. SLA 80/20 holgado.

2. 2
   Banco 3 cajas.

   λ = 0.9/min, S = 2 (a = 1.8, ρ = 0.6): Wq ≈ 0.9 min. La tercera caja humaniza.

3. 3
   Web 4 workers.

   λ = 100/s, S = 0.03 s (a = 3, ρ = 0.75): Wq ≈ 0.02 s. Pooling perfecto a microescala.

05 · Representación en Python

mmc() que dimensiona y simula

Erlang C con factoriales para predecir; libre_en[c] para validar con fila única.

# Todo M/M/c en una función (Erlang C)
import math
def mmc(lam, mu, c):
    a = lam / mu
    rho = a / c
    assert rho < 1, "sin régimen"
    s = sum(a**k / math.factorial(k) for k in range(c))
    C = (a**c / (math.factorial(c)*(1-rho))) / (s + a**c/(math.factorial(c)*(1-rho)))
    Wq = C / (c*mu - lam)
    return {"a": a, "rho": rho, "C": C, "Wq": Wq, "W": Wq + 1/mu}

for c in [2, 3, 4]:
    print(c, {k: round(v, 2) for k, v in mmc(0.9, 0.5, c).items()})

# Validar M/M/c simulando fila única (T largo)
import random
random.seed(32)
lam, mu, c, T = 0.9, 0.5, 3, 300.0
t, libres, wqs = 0.0, [0.0]*c, []
while t < T:
    t += random.expovariate(lam)
    k = min(range(c), key=lambda j: libres[j])
    ini = max(t, libres[k])
    libres[k] = ini + random.expovariate(mu)
    wqs.append(ini - t)
print(f"Wq sim={sum(wqs)/len(wqs):.2f} vs {mmc(lam, mu, c)['Wq']:.2f}")

06 · Exploración

Laboratorio: la curva de Erlang C

Fijamos S = 2 (μ = 0.5) y elegís la oferta a (vía λ) y c. Las barras muestran la Wq teórica M/M/c para c = 1…5 (capada donde no hay régimen); la barra marcada es tu c y el punto teal es tu simulación (T = 150, réplica). Subí a y mirá cómo la curva exige más c.

Barras lima = Wq teórica por c (roja donde ρ ≥ 1); borde grueso = tu c; punto teal = Wq simulada en tu c. S = 2 fijo.

Preguntas para explorar

1. Con a=1.8: ¿Wq con c=2 vs c=3? ¿C en cada uno? ¿Qué compró el tercero?
2. Subí a=2.4: ¿c mínimo? ¿Wq con ese c vs uno más?
3. ¿Por qué la sim con c al límite (ρ≈0.95) tiembla entre réplicas?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: mínimo estable

λ=6/min, S=1 min. ¿a, c mínimo y ρ con ese c?

lam, S = 6.0, 1.0
a = lam * S
c = int(a) + 1
print(f"a={a} c_min={c} rho={a/c:.2f}")  # a=6 c=7 rho=0.86

Ejercicio 2: leer la curva

Con λ=0.9, μ=0.5: ¿Wq con c=2, 3, 4? Usá tu mmc().

# Esperado: ~8.5, ~0.9, ~0.2 (ver tabla de la sección 02)
print("El salto 2->3 vale 10x; el 3->4 vale 4x: retornos decrecientes")

Ejercicio 3: SLA 80/20

λ=6/min, S=1, c=8: ¿P(Wq ≤ 1/3 min)? Fórmula P(Wq>t) = C·e^{−(cμ−λ)t}.

import math
# con mmc(6, 1, 8): C≈0.36, cμ−λ=2
C, resto, t = 0.36, 2.0, 1/3
print(f"P(Wq<={t:.2f})={1 - C*math.exp(-resto*t):.0%}")  # ~82%

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema miraremos el otro extremo del mostrador: la utilización del servidor.