Utilización del servidor

01 · Punto de partida

El número más citado y más mal leído

“Estamos al 95%, somos eficientes”, festeja el jefe. La fila, mientras tanto, no baja nunca: L ≈ 19 en M/M/1, Wq de 9× la de ρ = 0.5. Al 95% no hay eficiencia: hay saturación. Y del otro lado, ρ = 1.2 no es “trabajar al 120%”: es avalancha, backlog que crece sin cota.

ρ es la frontera entre régimen y deriva: trabajo que llega sobre capacidad. Este tema la define, la mide y la usa para decidir.

• ¿Cómo se calcula ρ con (λ, S, c) y cómo se mide con cronómetro?
• ¿Qué ρ es sana, cuál tensa y cuál avalancha?
• ¿Por qué la utilización medida se clava en 1 aunque ρ ofrecida sea 1.5?
• ¿Qué margen dejo según variabilidad y SLA?

02 · Definición

Oferta, capacidad y fracción ocupada

03 · El corazón: por qué 1 es pared

Debajo deriva cero, arriba deriva positiva

Si llega más trabajo del que sale (a > c), el backlog crece a tasa λ − cμ por unidad: la cola no “se estabiliza alta”, se va. Si a < c, el sistema vuelve una y otra vez al vacío y los promedios convergen. ρ = 1 es el filo: deriva nula, retornos infinitos, varianza que pide horizonte eterno.

1. 1
   Estimar oferta.

   a = λ × E[S] (mismas unidades). Es lo que pediría c = a servidores al 100%.

2. 2
   Dividir por c.

   ρ = a/c. Con heterogéneos o turnos, ρ por servidor (el quemado manda).

3. 3
   Comparar con 1 + margen.

   ρ < 0.7 ágil, < 0.85 sano, > 0.9 pared (con azar; con D se estira).

4. 4
   Medir U para auditar.

   U = ocupado/T por servidor. Si U ≈ 1 y hay cola siempre, estás saturado aunque tu planilla diga ρ = 0.8 (λ mal medida).

ρ ofrecida vs U medida

ρ se calcula con λ de puerta; U se mide con cronómetro. Con pérdidas, U usa λ_ef: ρ “de puerta” > U real.

Saturación

U ≈ 1 con cola permanente: el servidor no descansa y el backlog crece a λ − cμ. La firma de ρ > 1.

Pico transitorio

ρ > 1 un rato (pico) con K que absorbe: backlog temporal que luego se drena. Se dimensiona por peor pico, no por media.

Margen por variabilidad

A igual ρ media, más Cs² pide ρ objetivo menor: el margen paga rachas, no ociosidad “vaga”.

04 · Ejemplos

Cuatro ρ con historia

1. 1
   Banco ρ = 0.67.

   λ = 20/h, S = 2 min, c = 1: tenso viable, U ≈ 0.67 medida en caja.

2. 2
   Call center ρ = 0.86.

   a = 6, c = 7: estable pero al límite; el 8º lo lleva a 0.75 y salva el SLA.

3. 3
   Router en pico ρ = 1.2.

   Buffer absorbe 30 s de avalancha y luego drena: U = 1 medida, ρ ofrecida 1.2.

4. 4
   Taller cerrado.

   Con 8 de 10 máquinas caídas, la oferta efectiva cae sola: ρ se autorregula (N finita).

05 · Representación en Python

Calcular ρ y medir U

ρ se calcula en una línea; U se mide acumulando ocupado += fin − ini por servidor.

# rho() con semáforo operativo
def rho(lam, E, c=1):
    r = lam * E / c
    sem = "estable" if r < 0.85 else ("tenso" if r < 1 else "AVALANCHA")
    return r, sem

for lam, E, c in [(0.25, 2, 1), (0.45, 2, 1), (0.9, 2, 3)]:
    print((lam, E, c), rho(lam, E, c))

# Medir U = ocupado/T en c=1 con arribos fijos
S, c, T = 2.0, 1, 20.0
libre, ocupado = 0.0, 0.0
for t in [0, 1, 2, 3, 15]:
    ini = max(t, libre)
    libre = ini + S
    ocupado += S
print(f"U={ocupado/T:.2f} (rho ofrecida={(5/T)*S/c:.2f})")

06 · Exploración

Laboratorio: cruzar la frontera

Elegí la oferta a (S = 2 fijo, λ = a/2) y c. El medidor muestra ρ con semáforo; la escalera es N(t) simulada (M/M/c, T = 120, réplica). Debajo de 1, U ≈ ρ y la escalera vuelve; arriba de 1, U se clava en 1 y el backlog no vuelve.

Barra superior = ρ con semáforo (verde/amarillo/rojo); escalera = N(t); línea punteada = c. En avalancha la escalera no vuelve y U ≈ 1.

Preguntas para explorar

1. Con a=1.8, c=2 (ρ=0.9): ¿U ≈ 0.9? ¿N final vuelve a chico?
2. Pasá a c=1 (ρ=1.8): ¿U? ¿N final? ¿Por qué U no dice 1.8?
3. Con a=1.8, c=3 (ρ=0.6): ¿qué margen compraste respecto a c=2 y a qué precio?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: semáforo

λ=6/min, S=1, c=7 y c=8. ¿ρ y estado?

for c in [7, 8]:
    r = 6*1/c
    print(f"c={c} rho={r:.2f}", "tenso" if r >= 0.85 else "sano")

Ejercicio 2: backlog de avalancha

λ=0.9, μ=0.5, c=1 (ρ=1.8). ¿Backlog por hora?

lam, mu, c = 0.9, 0.5, 1
print(f"deriva={(lam - c*mu)*60:.0f} clientes/hora")

Ejercicio 3: U que delata λ

Medís U=0.95 con c=2, S=2 en T=60. ¿λ implícita en régimen? ¿Y si hay cola permanente?

U, c, S = 0.95, 2, 2.0
print(f"lambda≈{U*c/S:.2f}/min en régimen; con cola permanente, lambda>= {c/S} (saturado)")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema mediremos la congestión: la longitud media de la cola.