Longitud media de la cola

01 · Punto de partida

La foto engaña, la película mide

Pasás por el banco y ves 5 personas. ¿Hay congestión? Si 3 están en cajas y 2 esperan, es flujo sano; si 1 está en caja y 4 esperan, es cola. La foto N = 5 no distingue; el par (L, Lq) sí: L cuenta a todos, Lq solo a los que esperan.

Estas dos medias son el termómetro de congestión: se miden como área bajo la curva (Tema 20), se predicen con Erlang y se auditan con Little. Todo dimensionamiento serio las reporta.

• ¿Qué cuenta L y qué cuenta Lq? ¿Cómo se relacionan?
• ¿Cómo se mide cada una desde la traza N(t)?
• ¿Qué valores alarman y cómo se bajan?
• ¿Por qué Lq/L dice dónde duele?

02 · Definición

Sistema, espera y su diferencia

03 · El corazón: el área manda

Medir es integrar, no contar fotos

Cada nivel N aporta N × duración al área; L es área/T. Lq igual con Nq = max(0, N−c). Por eso un pico de 10 durante 1 min pesa lo mismo que 1 durante 10 min: la congestión es nivel × tiempo, no máximo.

1. 1
   Registrar N(t).

   En cada evento (arribo/partida) anotar nivel y duración hasta el próximo.

2. 2
   Integrar áreas.

   Área = Σ N·Δt; áreaq = Σ max(0,N−c)·Δt. Sin atajos: el promedio de fotos en eventos sesga.

3. 3
   Dividir por T.

   L = área/T, Lq = áreaq/T. Descartar calentamiento (Tema 41).

4. 4
   Auditar con Little.

   L ≈ λW y Lq ≈ λWq (Temas 35–37): si no cierran, el área o las vidas están mal.

Promedio temporal

Lo que ve el reloj: área/T. Es L y Lq. Lo que ve el que llega (PASTA) coincide solo con Poisson.

Lq/L

Fracción esperando: = ρ en M/M/1. Si tiende a 1, el sistema es sala de espera con un servidor de adorno.

Máximo vs media

El máximo asusta, la media dimensiona. Un pico de 20 con L = 2 pide absorber rachas, no triplicar c.

L con pérdidas

Con K finita, L se achata por fuga: L baja no significa salud. Reportar (L, Pb) juntos.

04 · Ejemplos

Cuatro termómetros

1. 1
   Banco ρ = 0.67.

   L ≈ 2.0, Lq ≈ 1.36: dos dentro, uno y pico esperando. Tenso viable.

2. 2
   Call center a = 6, c = 8.

   L ≈ 6.5 (6 hablando + 0.5 en espera): sala casi sin fila visible.

3. 3
   Impresora ρ = 0.9.

   L = 9, Lq = 8.1: pasillo lleno de gente con hojas en la mano.

4. 4
   Router con buffer 50.

   Lq ≈ 40 con Pb 5%: cola “sana” solo porque la fuga la poda (ver Pb junto a L).

05 · Representación en Python

Fórmulas y área en dos bloques

La teoría predice con ρ; la medición integra la traza. Ambas separan sistema y cola.

# L y Lq M/M/1 con c=1
def mm1_L(rho):
    return {"L": rho/(1-rho), "Lq": rho**2/(1-rho), "frac_cola": rho}

for rho in [0.5, 0.8, 0.9]:
    print(rho, {k: round(v, 2) for k, v in mm1_L(rho).items()})

# Medir L y Lq desde traza (t, N) con c=1
traza = [(0, 0), (1, 1), (3, 2), (4, 1), (6, 0)]
area = areaq = 0.0
for (t0, n0), (t1, n1) in zip(traza[:-1], traza[1:]):
    area += n0 * (t1 - t0)
    areaq += max(0, n0 - 1) * (t1 - t0)
T = traza[-1][0] - traza[0][0]
print(f"L={area/T:.2f} Lq={areaq/T:.2f}")

06 · Exploración

Laboratorio: ver el área que promediás

Simulamos M/M/1 hasta T = 150 (semilla = réplica). La escalera lima es N(t); el sombreado naranja es la parte en cola (N−1 cuando N ≥ 1). Las líneas punteadas son L (blanca) y Lq (teal) teóricas. Subí λ y mirá cómo el naranja se come la escalera.

Lima = N(t); naranja = porción en cola; blanca = L teórica; teal = Lq teórica. Con ρ alta casi todo es naranja.

Preguntas para explorar

1. Con ρ=0.5: ¿L sim ≈ 1 y Lq ≈ 0.5? ¿Qué mitad de la escalera es naranja?
2. Con ρ=0.875 (λ≈0.44, S=2): ¿L teórica? ¿La sim la alcanza con T=150?
3. ¿Por qué Lq/L sim ≈ ρ? ¿Qué pasa con esa fracción cuando ρ→1?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: tabla L/Lq

Con ρ = 0.5, 0.8, 0.9: ¿L, Lq y fracción en cola?

for rho in [0.5, 0.8, 0.9]:
    print(f"rho={rho} L={rho/(1-rho):.1f} Lq={rho**2/(1-rho):.1f}")

Ejercicio 2: área a mano

Traza (0,0)→(2,2)→(5,2)→(6,0) con c=1: ¿L y Lq en T=6?

# área N: 0*2 + 2*3 + 2*1 = 8 -> L=1.33; áreaq: 0 + 1*3 + 1*1 = 4 -> Lq=0.67
print(f"L={8/6:.2f} Lq={4/6:.2f}")

Ejercicio 3: de Lq a decisión

M/M/1 con Lq = 8.1 (ρ=0.9). ¿Lq con c=2 (ρ=0.45, mismo λ)? Anticipa el Tema 29.

# M/M/2 con a=0.9: C≈0.45, Lq=C*rho/(1-rho)≈0.37 (vs 8.1)
print("El segundo servidor parte Lq ×20: la cola se vuelve anécdota")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema mediremos la otra cara: el tiempo medio de espera.