Tiempo medio de espera

01 · Punto de partida

L cuenta cabezas, Wq cuenta minutos vividos

Decir “hay 8 en cola” no dice si esperan 30 segundos u 8 minutos. El cliente no vive Lq: vive Wq, los minutos entre llegar y sentarse. Por eso los SLA se escriben en Wq —“80% espera menos de 2 min”— y no en cabezas.

Wq y Lq son dos caras por Little (Lq = λWq), pero se miden distinto: Lq integra niveles en el tiempo, Wq promedia vidas por cliente (ini − arr).

• ¿Qué cuenta Wq y qué deja fuera (servicio)?
• ¿Cómo se mide vida por vida sin sesgar?
• ¿Media o percentil: qué pide el SLA?
• ¿Cómo se ata Wq con Lq para auditar?

02 · Definición

Espera, sistema y servicio

03 · El corazón: promediar vidas

Cada cliente aporta su espera (incluso cero)

En M/M/1 la espera tiene forma mixta: masa 1−ρ en cero (los afortunados) y cola exponencial ρ·e−(μ−λ)t para el resto. La media resume, pero el SLA vive en la cola: P(Wq > 8) con ρ = 0.5 es ~7%, con ρ = 0.9 es ~50%.

1. 1
   Registrar por admitido.

   Al iniciar servicio: wq = ini − arr. Los perdidos (K finita) no aportan: nunca esperaron dentro.

2. 2
   Incluir los ceros.

   El que entra directo aporta 0. Promediar solo a “los que esperaron” infla Wq al dividir por menos.

3. 3
   Cuidar el cierre.

   Al cerrar T, los que siguen en cola no tienen vida completa: se excluyen o se alarga T (con ρ alta, sesgan).

4. 4
   Auditar con Lq.

   Lq ≈ λWq con λ de admitidos. Si difiere >10% en régimen, revisar áreas o vidas.

Masa en cero

P(Wq = 0) = 1 − ρ (M/M/1, PASTA). El histograma siempre arranca con una barra alta en 0 que se hunde con ρ.

Cola exponencial

P(Wq > t) = ρ·e^{−(μ−λ)t} (M/M/1). De ahí el SLA directo sin simular.

Media vs percentil

La media dimensiona capacidad; el percentil firma SLA. Con ρ alta, w95 ≈ 3× la media (típico exponencial).

Truncamiento

Las vidas largas no terminan antes de T y faltan del promedio: Wq sim queda corta con T chico y ρ alta.

04 · Ejemplos

Cuatro esperas con nombre

1. 1
   Banco Wq = 4 min.

   ρ = 0.67, S = 2: 4 de espera + 2 de atención = 6 en sistema.

2. 2
   Call center SLA 80/20.

   Wq media 0.2 min pero SLA en P(Wq ≤ 20 s): la media sola no vende.

3. 3
   Guardia por clases.

   Wq VIP ≈ 0, Wq leve = 40 min: una sola Wq global escondería la urgencia (Tema 39).

4. 4
   Peaje Wq = 0.

   De noche, casi todos pasan directo: media ≈ 0 con máximos de 1 min.

05 · Representación en Python

Vidas, media y cola en tres líneas

Guardar (arr, ini) por cliente alcanza para Wq, Little y SLA empírico.

# Wq y SLA M/M/1: lam=0.25, mu=0.5
import math
lam, mu = 0.25, 0.5
Wq = lam / (mu * (mu - lam))
print(f"Wq={Wq:.1f} P(no espera)={1-lam/mu:.0%} P(Wq>8)={lam/mu*math.exp(-(mu-lam)*8):.1%}")

# Medir Wq desde vidas (ini-arr) y auditar Lq=lam*Wq
vidas = [0, 0, 1.5, 3.0, 0, 7.5]  # incluye ceros
Wq = sum(vidas) / len(vidas)
print(f"Wq={Wq:.2f} Lq={0.25*Wq:.2f} (lam=0.25)")

06 · Exploración

Laboratorio: el histograma de la espera

Simulamos M/M/1 hasta T = 200 (semilla = réplica) y agrupamos vidas en 0, (0,2], (2,4], (4,8], >8. Barras lima = teoría M/M/1 (masa 1−ρ en 0 + cola exponencial); teal = sim. La línea marca Wq teórica. Subí ρ y mirá cómo se vacía el 0 y crece la cola.

Parejas por tramo: lima = teoría, teal = sim. La línea blanca es Wq teórica. Con ρ alta la masa se muda a la derecha.

Preguntas para explorar

1. Con ρ=0.5: ¿P₀ sim ≈ 0.5? ¿Wq sim ≈ 2? ¿Qué tramo concentra la cola?
2. Con ρ=0.875: ¿qué fracción supera 8 min en teoría? ¿La sim la ve con T=200?
3. ¿Por qué el tramo >8 tiembla más entre réplicas que el 0?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: tabla Wq

μ=0.5, λ=0.25, 0.4, 0.45. ¿Wq y P₀?

mu = 0.5
for lam in [0.25, 0.4, 0.45]:
    print(f"lam={lam} Wq={lam/(mu*(mu-lam)):.1f} P0={1-lam/mu:.2f}")

Ejercicio 2: SLA 80/20

M/M/8 con C≈0.36, cμ−λ=2. ¿P(Wq ≤ 1/3)?

import math
print(f"{1 - 0.36*math.exp(-2/3):.0%}")  # ~82%: el SLA se lee en la cola, no en Wq

Ejercicio 3: auditar con Little

Lq = 3.2, λ = 0.4. ¿Wq? ¿W con S = 2?

Lq, lam, S = 3.2, 0.4, 2.0
print(f"Wq={Lq/lam:.1f} W={Lq/lam + S:.1f}")  # 8.0 y 10.0

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema sumamos la atención: el tiempo medio en el sistema.