Generación de Bernoulli

01 · Punto de partida

Todo conteo empieza con un sí/no

¿El cliente compra? ¿La pieza falla? ¿El paquete llega? Cada pregunta binaria es una Bernoulli(p). Y cada binomial cuenta Bernoullis, cada geométrica espera la primera, cada thinning decide con una. Dominar su generación es dominar el ladrillo.

El método es el umbral del Tema 1, ahora con propiedades, varianza y tests que lo auditan en serio.

• ¿Por qué 1 si U < p es exacto?
• ¿Qué media y varianza debe reproducir la muestra?
• ¿Cómo testear con N chico y con N grande?
• ¿Qué errores sesgan p sin que se note a ojo?

02 · Definición

Masa, media y varianza del 0/1

P(X=1) = p, P(X=0) = 1−p. E[X] = p, E[X²] = p, Var(X) = p − p² = p(1−p), máxima en p = 0,5 (0,25) y nula en bordes.

03 · Anatomía

Umbral, bordes y vectorización

Comparación estricta o no

U < p vs U ≤ p difieren en prob. 0 (continuo). Fijar una y ser consistente; el borde U = p exacto mide 0.

p = 0 / p = 1 degeneradas

Devuelven constante sin gastar U. Útil en mezclas con ramas apagadas y en tests.

Vectorizar

Generar el vector U de tamaño N y comparar de una vez (NumPy/listas). Un bucle Python por ensayo es 50× más lento.

Reproducibilidad

Semilla fija ⇒ secuencia fija de unos/ceros. Guardar (p, N, semilla) reproduce el experimento bit a bit.

04 · Para qué sirve un 0/1 perfecto

El ladrillo de medio curso

1. 1
   Binomial(n,p).

   Sumar n Bernoullis independientes. (Tema 19)

2. 2
   Geométrica(p).

   Contar fracasos hasta el primer 1. (Tema 18)

3. 3
   Thinning de Poisson.

   Quedarse con cada evento con prob. p: Poisson(λ) ⇒ Poisson(λp).

4. 4
   Decisiones del simulador.

   Composición (elegir rama), aceptación (aceptar propuesta), dropout, fallas.

05 · Representación en Python

Ensayo, ráfaga y auditoría de dos momentos

Una función, un vector y dos asserts: media y varianza.

import random

random.seed(120)
p, N = 0.3, 8000

def bernoulli(p):
    return 1 if random.random() < p else 0

m = [bernoulli(p) for _ in range(N)]
media = sum(m) / N
var = sum((x - media) ** 2 for x in m) / N
print("media:", round(media, 3), "teórica:", p)
print("var:", round(var, 3), "teórica:", round(p * (1 - p), 3))
print("unos:", sum(m), "de", N)

Media ≈ 0,30 y var ≈ 0,21. Si la var da ≈ 0,25 con p = 0,3, estás generando p = 0,5 sin querer.

06 · Exploración

Laboratorio: media y varianza bajo control

Movete p y N. Las barras son frecuencias de 0/1; los rombos, la teoría. El panel compara varianza muestral vs p(1−p): con N grande calzan; con N chico bailan.

Barra celeste X=0, naranja X=1, rombos teoría. Probá p = 0,5 (varianza máxima) y N = 100.

Preguntas para explorar

1. Con p = 0,5, ¿qué varianza esperás? ¿Es la máxima?
2. Con N = 100 y p = 0,1, ¿la barra del 1 se acerca a 0,1? ¿Y la varianza?
3. Si p = 0,95, ¿por qué la varianza es igual que con p = 0,05?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: moneda sesgada auditada

Con p = 0,7 y N = 5000 (semilla 121), verificá media ≈ 0,7 y var ≈ 0,21.

import random

random.seed(121)
p, N = 0.7, 5000
m = [1 if random.random() < p else 0 for _ in range(N)]
media = sum(m) / N
print(round(media, 3), round(sum((x-media)**2 for x in m)/N, 3))

Ejercicio 2: evento raro

Con p = 0,02 y N = 20000 (semilla 122), ¿cuántos unos esperás? Contalos y compará.

import random

random.seed(122)
p, N = 0.02, 20000
m = [1 if random.random() < p else 0 for _ in range(N)]
print(sum(m), "vs", N * p)

Ejercicio 3: thinning que preserva Poisson

Generá 3000 Poisson(4) por suma de exponenciales o librería simple, quedate con cada evento con p = 0,5 y verificá media ≈ 2.

import random
import math

random.seed(123)
lam, p, N = 4.0, 0.5, 3000

def poisson(lam):
    L, k, q = math.exp(-lam), 0, 1.0
    while True:
        q *= random.random()
        if q <= L:
            return k
        k += 1

adelgazada = [sum(1 if random.random() < p else 0 for _ in range(poisson(lam)))
              for _ in range(N)]
print(round(sum(adelgazada) / N, 3), "vs", lam * p)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema escalamos el 0/1 a enteros equiprobables: la uniforme discreta.