Generación uniforme discreta

01 · Punto de partida

El dado, el índice y el sorteo

Elegir carta, cara, índice de bootstrap o posición de Fisher-Yates pide enteros equiprobables. El método es una línea, pero el 90 % de los sesgos discretos nace de escribirla mal: redondear en vez de truncar, o tomar módulo sobre un rango no divisor.

Este tema fija la fórmula canónica y sus momentos para auditarla.

• ¿Por qué piso y no redondeo?
• ¿Qué media y varianza debe dar {1,…,n}?
• ¿Cómo incluir ambos bordes a y b?
• ¿Cuándo el módulo % sesga?

02 · Definición

Masa plana y escalera regular

P(X = k) = 1/n, F con n saltos iguales de 1/n. E[X] = (a+b)/2, Var(X) = (n²−1)/12.

03 · Anatomía

Piso, módulo y rangos grandes

Piso, no redondeo

round crea n+1 valores efectivos con extremos a mitad. int() trunca hacia cero (= piso en positivos): correcto aquí.

Módulo con resto

randbits(k) % n es uniforme solo si n divide a 2ᵏ. Si no, rechazar valores ≥ mayor múltiplo de n (método de Lemire).

Rangos grandes

Con n > 2⁵³, n·U en doble pierde resolución (enteros no representables). Usar enteros aleatorios nativos (randbelow) en vez de flotante.

Índices 0-based

Para listas: int(n*U) en {0…n−1}. Sumar 1 solo si el modelo es 1-based (dados).

04 · Dónde se usa un entero justo

Del dado al índice bootstrap

1. 1
   Dados y sorteos.

   Juegos, pasos aleatorios, decisiones equiprobables.

2. 2
   Índices.

   Elegir fila, columna de alias (Tema 13) o posición de Fisher-Yates (Tema 33).

3. 3
   Bootstrap.

   Remuestrear índices 0…n−1 con reemplazo. (Temas 30, 34)

4. 4
   Discretización consciente.

   Si necesitás bines, el piso es el binner; el redondeo es otro modelo.

05 · Representación en Python

Dado canónico y auditoría de momentos

Implementación directa más chequeo de media/varianza contra (a+b)/2 y (n²−1)/12.

import random

random.seed(130)
a, b = 1, 6
n = b - a + 1
N = 12000

def uniforme_discreta(a, b):
    return a + int((b - a + 1) * random.random())

m = [uniforme_discreta(a, b) for _ in range(N)]
media = sum(m) / N
var = sum((x - media) ** 2 for x in m) / N
print("media:", round(media, 3), "teórica:", (a + b) / 2)
print("var:", round(var, 3), "teórica:", round((n**2 - 1) / 12, 3))
print("frec:", [round(m.count(v) / N, 3) for v in range(a, b + 1)])

Dado: media ≈ 3,5, var ≈ 2,917, seis ≈ 0,167. Con round los bordes caerían a ~0,08.

06 · Exploración

Laboratorio: planicie discreta de n caras

Movete n y N. Las barras deben pegarse a la línea 1/n. Con N chico hay ruido; con N grande, planicie.

Barras 1…n vs línea teórica. Probá n = 12 con N = 200 (ruido) y N = 12000 (plano).

Preguntas para explorar

1. Con n = 6, ¿qué frecuencia y media esperás?
2. Con n = 2, ¿a qué Bernoulli equivale? ¿Con qué p?
3. Si ves una cara sistemáticamente baja con N = 12000, ¿ruido o sesgo?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: dado auditado

Dado {1…6}, N = 12000, semilla 131: verificá seis ≈ 0,167, media 3,5 y var 2,917.

import random

random.seed(131)
N = 12000
m = [1 + int(6 * random.random()) for _ in range(N)]
media = sum(m) / N
print([round(m.count(v) / N, 3) for v in range(1, 7)])
print(round(media, 3), round(sum((x-media)**2 for x in m)/N, 3))

Ejercicio 2: cazar el redondeo

Compará 1+int(6U) vs 1+round(5U) con 20000 tiros. ¿Qué caras se deforman?

import random

random.seed(132)
N = 20000
bien = [1 + int(6 * random.random()) for _ in range(N)]
random.seed(132)
mal = [1 + round(5 * random.random()) for _ in range(N)]
print("bien:", [round(bien.count(v)/N, 3) for v in range(1, 7)])
print("mal: ", [round(mal.count(v)/N, 3) for v in range(1, 7)])

Ejercicio 3: índice bootstrap

Con datos de 50 elementos, remuestreá 2000 índices {0…49} y verificá que cada uno sale ≈ 0,02.

import random

random.seed(133)
n, N = 50, 2000
idx = [int(n * random.random()) for _ in range(N)]
print("min frec:", round(min(idx.count(v)/N for v in range(n)), 4),
      "max frec:", round(max(idx.count(v)/N for v in range(n)), 4))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema contaremos fracasos hasta el éxito: la geométrica.