Generación geométrica

01 · Punto de partida

Reintentar hasta que sale

¿Cuántos intentos fallidos antes del primer acierto con prob. p por intento? Reintentos de red, llamadas hasta vender, prototipos hasta aprobar: todos son Geométrica(p), la única discreta sin memoria.

Hay dos formas de generarla: contar Bernoullis uno por uno (didáctico, lento si p es chico) o saltar directo con un logaritmo (O(1), exacto).

• ¿Fracasos (0,1,…) o ensayos (1,2,…)?
• ¿Por qué k = ⌊ln(1−U)/ln(1−p)⌋ es exacto?
• ¿Cuándo el bucle es mejor que la fórmula?
• ¿Qué significa “sin memoria” en código?

02 · Definición

Masa, cola y falta de memoria

Versión fracasos: soporte {0,1,2,…}, F(k) = 1 − (1−p)^(k+1). Versión ensayos Y = X+1 con media 1/p. Varianza (1−p)/p² en ambas.

03 · Anatomía

Fórmula vs. bucle, bordes y costo

Fórmula O(1)

Precomputar ln(1−p) una vez. Cada muestra: un log + un piso. Estable salvo p ≈ 0 (ln(1−p) ≈ −p, usar log1p) o U = 1 exacto.

Bucle O(1/p)

Didáctico y sin logs. Con p = 0,5 cuesta ~1 uniforme; con p = 0,01 cuesta ~99. Solo para p grande o para enseñar.

p extrema

p → 1: casi siempre 0 (bucle de 0–1 pasos). p → 0: cola larguísima, valores de miles; graficar truncado + cola “≥K”.

Desbordes

k cabe en int siempre (geométrica finita c.s.). Con p = 1e−9 y U chico, k ~ 10⁹: usar 64 bits.

04 · Dónde espera la geométrica

Del reintento al modelo

1. 1
   Reintentos.

   Red, bases de datos, colas con reintento: número de fallos antes del éxito.

2. 2
   Ventas y conversión.

   Llamadas hasta el primer “sí” con p por llamada.

3. 3
   Puente a exponencial.

   Geométrica con p = λ·Δt → Exponencial(λ) al refinar el tiempo. Discreto y continuo unidos.

4. 4
   Puente a binomial negativa.

   Suma de geométricas = espera del r-ésimo éxito. (Temas 19, 26)

05 · Representación en Python

Fórmula y bucle cara a cara

Mismo p, misma semilla conceptual: la fórmula debe dar igual distribución con 100× menos uniformes cuando p es chico.

import random
import math

random.seed(140)
p, N = 0.3, 8000
den = math.log(1 - p)

def geometrica_inv():
    return int(math.log(1 - random.random()) / den)

def geometrica_bucle():
    k = 0
    while random.random() >= p:
        k += 1
    return k

m = [geometrica_inv() for _ in range(N)]
media = sum(m) / N
print("fórmula media:", round(media, 3), "teórica:", round((1-p)/p, 3))
print("P(X=0):", round(m.count(0)/N, 3), "vs", p)
random.seed(140)
m2 = [geometrica_bucle() for _ in range(500)]
print("bucle (500):", round(sum(m2)/len(m2), 3))

Media ≈ 2,333 y P(X=0) ≈ 0,3. El bucle con 500 ya ronda, pero gasta ~2,3 U por muestra contra 1 de la fórmula.

06 · Exploración

Laboratorio: cola que se alarga con p chico

Movete p con N fijo. Las barras son frecuencia 0…12 (+ cola ≥13); los rombos, p(1−p)^k. Con p = 0,5 cae rápido; con p = 0,1 la cola domina.

13 barras 0–12 más cola. Probá p = 0,1 (cola pesada) y p = 0,8 (casi todo en 0).

Preguntas para explorar

1. Con p = 0,3, ¿media y P(X=0) teóricas? Leelas en el panel.
2. Bajá a p = 0,1. ¿La media sube a 9? ¿La cola ≥13 crece a ~0,25?
3. Subí a p = 0,9. ¿Por qué casi toda la masa está en 0 y 1?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: reintentos de red

p = 0,2 por intento, N = 6000 (semilla 141): estimá media (≈ 4) y P(0 reintentos) (≈ 0,2).

import random
import math

random.seed(141)
p, N = 0.2, 6000
den = math.log(1 - p)
m = [int(math.log(1 - random.random()) / den) for _ in range(N)]
print(round(sum(m)/N, 3), "vs 4.0")
print(round(m.count(0)/N, 3), "vs 0.2")

Ejercicio 2: cola por fórmula y por muestra

Con p = 0,1, compará P(X ≥ 13) teórica 0,9^13 ≈ 0,254 contra 8000 muestras.

import random
import math

random.seed(142)
p, N = 0.1, 8000
den = math.log(1 - p)
m = [int(math.log(1 - random.random()) / den) for _ in range(N)]
print(round(sum(1 for x in m if x >= 13) / N, 3), "vs", round(0.9 ** 13, 3))

Ejercicio 3: bucle que cuesta

Contá uniformes por muestra del bucle con p = 0,05 vs fórmula (1 U). El factor debe rondar 1/p = 20… en realidad (1−p)/p+1 = 20.

import random

random.seed(143)
p, N = 0.05, 2000
usados = 0
m = []
for _ in range(N):
    k = 0
    while True:
        usados += 1
        if random.random() < p:
            break
        k += 1
    m.append(k)
print("U por muestra (bucle):", round(usados / N, 1), "vs fórmula: 1.0")
print("media:", round(sum(m) / N, 2), "vs 19.0")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema sumaremos Bernoullis: la binomial.