Vectores aleatorios

01 · Punto de partida

Del par a la nube p-dimensional

¿Una cartera con 5 activos correlacionados? ¿Tres sensores con ruido acoplado? ¿Puntos (x,y,z) con forma elipsoidal? El par del Tema 28 es el caso p = 2: el vector general pide un vector de medias μ y una matriz de covarianza Σ, y se genera con X = μ + LZ.

La pieza nueva es L, la raíz de Cholesky con Σ = LLᵀ: reparte correlación y escala a cada dimensión de un tiro, sin bucles por coordenada.

• ¿Por qué X = μ + LZ tiene media μ y covarianza Σ?
• ¿Cómo se lee L en 2D desde σ₁, σ₂ y ρ?
• ¿Qué valida un vector: medias, varianzas y qué más?
• ¿Qué rompe Σ y cómo se detecta antes de simular?

02 · Definición

Media, covarianza y elipse

Σ es simétrica con varianzas en la diagonal y covarianzas fuera: Σᵢⱼ = ρᵢⱼσᵢσⱼ. E[Xᵢ] = μᵢ, Var(Xᵢ) = Σᵢᵢ, Corr = Σᵢⱼ/√(ΣᵢᵢΣⱼⱼ). La nube 2D es una elipse centrada en μ con ejes dados por Σ.

03 · Anatomía

Cholesky, validez y costo

Cholesky una sola vez

Factorizar Σ cuesta O(p³) pero se hace una vez; cada muestra cuesta O(p²) en el producto LZ más p normales base (Box-Muller/polar).

Σ debe ser válida

Simétrica y semidefinida positiva: varianzas ≥ 0 y |ρ| ≤ 1 en cada par, sin contradicciones globales. Si Cholesky falla (raíz negativa), Σ es imposible: revisar correlaciones.

Orden y escala

Estandarizar no cambia ρ pero sí la elipse: generar estándar y escalar por σᵢ equivale a L con σ. No permutar filas de L sin permutar μ y Σ.

p grande

Con cientos de dimensiones, Cholesky denso es pesado: usar estructura diagonal, bloques o rango bajo. El par 2D de este tema es el bloque constructor.

04 · Dónde vuelan los vectores

Del punto al campo

1. 1
   Carteras y riesgo.

   Retornos correlacionados: el ρ conjunto mueve la cola del portafolio, no cada activo aislado.

2. 2
   Sensores y medidas.

   Ruido acoplado en varias señales con media μ y geometría Σ conocida.

3. 3
   Puntos con forma.

   Nubes elipsoidales, regiones de confianza y controles de calidad multivariados.

4. 4
   Puente a cópulas.

   Atar con Z correlacionadas y transformar cada margen con su inversa: vector no normal con dependencia normal. (Tema 28)

05 · Representación en Python

Bivariada completa con μ y Σ

Medias distintas, escalas distintas y ρ: el L 2×2 a mano más auditoría de vector completo.

import random
import math

random.seed(250)
mu1, mu2 = 2.0, -1.0
s1, s2, rho, N = 1.5, 0.5, 0.6, 8000
w = math.sqrt(max(0.0, 1 - rho * rho))

def vector_normal():
    z1, z2 = random.gauss(0, 1), random.gauss(0, 1)
    x = mu1 + s1 * z1
    y = mu2 + s2 * (rho * z1 + w * z2)
    return x, y

pares = [vector_normal() for _ in range(N)]
mx = sum(a for a, _ in pares) / N
my = sum(b for _, b in pares) / N
cov = sum((a-mx)*(b-my) for a, b in pares) / N
vx = sum((a-mx)**2 for a, _ in pares) / N
vy = sum((b-my)**2 for _, b in pares) / N
print("medias:", round(mx, 3), round(my, 3), "vs 2.0 -1.0")
print("vars:", round(vx, 3), round(vy, 3), "vs 2.25 0.25")
print("corr:", round(cov / math.sqrt(vx*vy), 3), "vs", rho)

Medias ≈ (2,−1), varianzas ≈ (2,25; 0,25) y corr ≈ 0,6. Si la var de Y da ≈ 1, olvidaste escalar por σ₂.

06 · Exploración

Laboratorio: elipse con σ₂ y ρ a mando

Movete ρ y σ₂ con N fijo (σ₁ = 1, μ = 0). La elipse amarilla es la teórica 1σ: se inclina con ρ y se estira con σ₂. El panel compara varianza y corr muestrales con las teóricas.

Dispersión (X,Y) en [−4,4]² con elipse 1σ. Probá σ₂ = 2 (alta) y ρ = −0,8 (↘).

Preguntas para explorar

1. Con ρ = 0,6 y σ₂ = 1, ¿corr y var Y teóricas?
2. Subí σ₂ a 2 con ρ fijo. ¿La elipse se estira en Y? ¿La corr cambia?
3. Poné ρ = 0 con σ₂ = 2. ¿La nube se vuelve eje-alineada? ¿Qué elipse queda?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: cartera de dos activos

μ = (0,01; 0,02), σ = (0,10; 0,20), ρ = 0,5, N = 8000 (semilla 251): verificá la Σ completa.

import random
import math

random.seed(251)
mu1, mu2, s1, s2, rho, N = 0.01, 0.02, 0.10, 0.20, 0.5, 8000
w = math.sqrt(1 - rho**2)
pares = []
for _ in range(N):
    z1, z2 = random.gauss(0, 1), random.gauss(0, 1)
    pares.append((mu1 + s1*z1, mu2 + s2*(rho*z1 + w*z2)))
mx = sum(a for a,_ in pares)/N
cov = sum((a-mx)*(b-sum(b for _,b in pares)/N) for a,b in pares)/N
print("cov:", round(cov, 4), "vs", round(rho*s1*s2, 4))

Ejercicio 2: Σ imposible que avisa

Intentá Cholesky 2×2 con ρ = 1,5: el término √(1−ρ²) falla. Verificá que tu código lo rechaza en vez de generar NaN.

import math

for rho in [0.9, 1.0, 1.5]:
    try:
        w = math.sqrt(1 - rho**2)
        print(rho, "ok, w =", round(w, 3))
    except ValueError:
        print(rho, "rechazada")

Ejercicio 3: puntos uniformes vs elipse

Generá 3000 puntos U([−2,2]²) y 3000 N(0,Σ) con σ₂ = 2, ρ = 0,6: compará qué fracción cae en la elipse 1σ teórica.

import random
import math

random.seed(253)
rho, s2, N = 0.6, 2.0, 3000
w = math.sqrt(1 - rho**2)
# inversa de L 2x2 con s1=1: u1 = x, u2 = (y/s2 - rho*x)/w
def en_elipse(x, y):
    u1 = x
    u2 = (y/s2 - rho*x)/w
    return u1*u1 + u2*u2 <= 1
pares = []
for _ in range(N):
    z1, z2 = random.gauss(0, 1), random.gauss(0, 1)
    pares.append((z1, s2*(rho*z1 + w*z2)))
uni = [(random.uniform(-2,2), random.uniform(-2,2)) for _ in range(N)]
print("normal en 1σ:", round(sum(1 for x,y in pares if en_elipse(x,y))/N, 3), "vs 0.393")
print("uniforme en 1σ:", round(sum(1 for x,y in uni if en_elipse(x,y))/N, 3))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema remuestreamos datos: muestreo con reemplazo y bootstrap.