Muestreo con reemplazo

01 · Punto de partida

Medir la duda con los propios datos

¿Qué tan firme es esa media de 10 mediciones? ¿Y esa mediana? Sin suponer normalidad, el bootstrap remuestrea los datos observados con reemplazo miles de veces: la dispersión de las réplicas estima la incertidumbre del estadístico.

El motor es mínimo: m índices iid uniformes en {0,…,n−1} (Tema 17). Cada elemento puede repetirse o faltar; esa es la gracia, no un defecto.

• ¿Por qué cada extracción es iid con P = 1/n?
• ¿Qué fracción de datos originales cae en cada remuestra?
• ¿Cómo salen el error estándar y el intervalo del histograma?
• ¿Cuándo el bootstrap miente?

02 · Definición

Índices iid y conteos multinomiales

P(I = i) = 1/n en cada extracción, independiente de las demás. El vector de conteos de una remuestra de tamaño m es Multinomial(m; 1/n,…,1/n): E[conteoᵢ] = m/n. Con m = n, P(i nunca sale) = (1−1/n)^n ≈ 1/e ≈ 0,368.

03 · Anatomía

Tamaño, réplicas y límites

Tamaño m = n estándar

La remuestra imita a la muestra original: mismo n, mismo estadístico. m distinto de n estima otro escenario (útil, pero ya no es el bootstrap clásico).

Réplicas B ≥ 1000

B = 2000–10000 estabiliza percentiles; B chica mueve los bordes del intervalo. B no achica el error estándar: eso lo hace m.

Costo O(B·m)

Cada réplica gasta m uniformes. Con B = 5000 y m = 100 son 500 000 sorteos: vectorizar índices de una vez.

Cuándo falla

n minúscula, extremos (máximos), datos dependientes en el tiempo: ahí el iid con reemplazo rompe la estructura y el intervalo miente.

04 · Para qué remuestrear

De la muestra al intervalo

1. 1
   Intervalos sin fórmulas.

   Media, mediana o percentil con IC por percentiles bootstrap cuando la teoría no alcanza.

2. 2
   Validación de modelos.

   Estabilidad de un estimador ante perturbaciones de la muestra de entrenamiento.

3. 3
   Bagging.

   Promediar modelos entrenados en remuestras: la varianza cae con el promedio.

4. 4
   Tests por permutación.

   Prima del remuestreo con otra hipótesis: reasignar etiquetas en vez de repetir datos.

05 · Representación en Python

Bootstrap de la media con IC

Datos fijos, B remuestras de tamaño n: media bootstrap, error estándar y percentiles 2,5–97,5.

import random

random.seed(260)
datos = [4, 6, 5, 8, 3, 7, 6, 5, 9, 4]
n = len(datos)
xbar = sum(datos) / n
s = (sum((x - xbar) ** 2 for x in datos) / n) ** 0.5
B, m = 3000, n

def remuestra(m):
    return [datos[int(n * random.random())] for _ in range(m)]

medias = sorted(sum(remuestra(m)) / m for _ in range(B))
mb = sum(medias) / B
se = (sum((v - mb) ** 2 for v in medias) / B) ** 0.5
print("media datos:", round(xbar, 3), "boot:", round(mb, 3))
print("SE boot:", round(se, 3), "vs", round(s / m ** 0.5, 3))
print("IC95:", round(medias[int(0.025*B)], 2), round(medias[int(0.975*B)], 2))

Media ≈ 5,7, SE ≈ 0,57 e IC95 ≈ [4,6; 6,8]. Si el SE da ≈ 0, el remuestreo está devolviendo siempre la misma muestra.

06 · Exploración

Laboratorio: medias que acampanan

Movete m y B sobre los datos [4,6,5,8,3,7,6,5,9,4] (media 5,7). Las barras son las B medias bootstrap en 20 bines; los rombos, la aproximación normal con s/√m. Con m chica la campana es ancha; con m grande se afina.

20 bines en [3,9] vs campana N(5,7; s/√m). Probá m = 3 (ancha) y m = 20 (fina).

Preguntas para explorar

1. Con m = 10, ¿SE teórico? Leelo en el panel.
2. Duplicá m a 20. ¿El SE cae como 1/√m?
3. Bajá B a 200. ¿La forma se vuelve ruidosa aunque el SE resista?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: IC de la media

Datos del tema, B = 5000, m = 10 (semilla 261): estimá el IC95 por percentiles (≈ [4,6; 6,8]).

import random

random.seed(261)
datos = [4, 6, 5, 8, 3, 7, 6, 5, 9, 4]
n, B, m = len(datos), 5000, 10
medias = sorted(sum(datos[int(n*random.random())] for _ in range(m))/m
                for _ in range(B))
print(round(medias[int(0.025*B)], 2), round(medias[int(0.975*B)], 2))

Ejercicio 2: el 63,2 % visible

Con n = m = 10 y 3000 réplicas, contá distintos por remuestra: la media debe rondar 6,5.

import random

random.seed(262)
n, m, B = 10, 10, 3000
dist = [len({int(n*random.random()) for _ in range(m)}) for _ in range(B)]
print(round(sum(dist)/B, 2), "vs", round(n*(1-(1-1/n)**m), 2))

Ejercicio 3: m manda, B acompaña

Compará el SE bootstrap con m = 5 y m = 20 (B = 3000): debe escalar como 1/√m.

import random

random.seed(263)
datos = [4, 6, 5, 8, 3, 7, 6, 5, 9, 4]
n, B = len(datos), 3000
for m in [5, 20]:
    medias = [sum(datos[int(n*random.random())] for _ in range(m))/m
              for _ in range(B)]
    mb = sum(medias)/B
    se = (sum((v-mb)**2 for v in medias)/B) ** 0.5
    print("m =", m, round(se, 3))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema prohibimos repetir: muestreo sin reemplazo.