¿Qué es el método de Monte Carlo?

01 · Punto de partida

Cuando la fórmula no alcanza, el azar ayuda

Hay cantidades fáciles de definir pero difíciles de calcular: el área de una figura rara, una integral sin primitiva, la probabilidad de perder dinero con demanda incierta, el valor de π sin calculadora. Intentar la cuenta exacta puede ser imposible o carísimo.

El método de Monte Carlo propone otro camino: generar muchos escenarios aleatorios, evaluar cada uno y promediar. Con suficientes réplicas, el promedio se acerca al valor buscado.

• ¿Qué cantidad quiero aproximar?
• ¿Cómo genero un escenario aleatorio de ese problema?
• ¿Qué calculo en cada réplica?
• ¿Cuántas réplicas necesito para confiar en el promedio?

02 · Definición

Los tres ingredientes

Todo Monte Carlo, del más simple al financiero, combina lo mismo:

Si en cada réplica calculamos g(Xᵢ), el promedio estima la esperanza E[g(X)]. Esa es toda la magia: probabilidades, áreas e integrales se escriben como esperanzas.

03 · Cómo funciona

El ciclo en 4 pasos

La simulación estática no tiene reloj: cada réplica es independiente y el orden no importa. Eso la hace simple y paralelizable.

1. 1
   Generar.

   Muestrear la entrada: random.random(), un dado, una demanda normal. Cada xᵢ es un escenario.

2. 2
   Evaluar.

   Calcular g(xᵢ): ¿cayó dentro?, ¿cuánto vale f(xᵢ)?, ¿qué ganancia deja?

3. 3
   Promediar.

   Acumular y dividir por N. Ese promedio es la estimación puntual.

4. 4
   Decidir.

   Medir el error (± σ/√N), dar un intervalo y tomar la decisión con ese margen.

Simulación estática

No evoluciona en el tiempo: N fotos independientes que se promedian. Lo contrario de la simulación dinámica.

Estimador

La regla que convierte las réplicas en número: casi siempre, el promedio muestral.

Error Monte Carlo

El promedio tiene ruido: su desvío típico cae como 1/√N. Para partir el error a la mitad, hay que cuadruplicar N.

04 · Ejemplos

Dónde brilla el método

El mismo patrón aparece en problemas muy distintos. Si podés sortearlo y promediarlo, podés estimarlo:

1. 1
   Moneda.

   Estimar P(cara) ≈ caras/N. Con N = 10 000, el error típico es ≈ 0,005.

2. 2
   Dado.

   El promedio de un dado tiende a 3,5. Pocas tiradas engañan; miles estabilizan.

3. 3
   π.

   Puntos uniformes en [0,1]²: la fracción dentro del cuarto de círculo tiende a π/4.

4. 4
   Inventario.

   Demanda aleatoria cada réplica: se promedia la ganancia para cada nivel de stock y se elige el mejor.

05 · Representación en Python

Tu primer Monte Carlo en 5 líneas

En Python, Monte Carlo es un bucle: sortear, evaluar, acumular y dividir. El módulo random es el generador de escenarios.

import random

def montecarlo(N):
    caras = sum(1 for _ in range(N) if random.random() < 0.5)
    return caras / N

for N in [100, 1000, 10000]:
    print(N, montecarlo(N))

Consejo: ejecutalo varias veces con el mismo N. El resultado cambia: ese temblor es el error Monte Carlo.

Promedio de un dado

El mismo esquema estima esperanzas: el promedio de randint(1,6) debe acercarse a 3,5.

import random

def promedio_dado(N):
    total = sum(random.randint(1, 6) for _ in range(N))
    return total / N

print(promedio_dado(5000))

06 · Exploración

Laboratorio: la moneda se estabiliza

Elegí cuántas tiradas simular y observá cómo el promedio acumulado tiembla al inicio y se calma alrededor de 0,5. Esa calma es la convergencia.

La línea muestra el promedio acumulado tirada a tirada. La línea punteada marca 0,5, el valor teórico. Con N chico la curva salta; con N grande se pega al 0,5.

Preguntas para explorar

1. Corré con N = 100 varias veces. ¿Cuánto varía la estimación entre corridas?
2. Subí a N = 10 000. ¿Qué le pasa a la variación y al error típico?
3. ¿Por qué la curva se mueve mucho al principio y poco al final?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: estimar un par del dado

Estimá P(par) tirando un dado N veces. El valor teórico es 0,5. Probá con N = 500 y N = 20 000.

import random

def prob_par(N):
    pares = sum(1 for _ in range(N) if random.randint(1, 6) % 2 == 0)
    return pares / N

print(prob_par(500))
print(prob_par(20000))

Ejercicio 2: predecir antes de correr

Sin ejecutar: si tirás una moneda 4 veces y salen 3 caras, ¿la estimación es 0,75 y eso refuta que la moneda es justa? Después comprobá qué pasa con 4 000 tiradas.

import random

def estimar(N):
    return sum(random.random() < 0.5 for _ in range(N)) / N

print(estimar(4))
print(estimar(4000))

Ejercicio 3: escribir el ciclo completo

Escribí montecarlo(N) que devuelva la tupla (estimación, error) para la moneda, usando error = √[p(1−p)/N]. Probala con N = 1 000.

import random
import math

def montecarlo(N):
    caras = sum(1 for _ in range(N) if random.random() < 0.5)
    p = caras / N
    error = math.sqrt(p * (1 - p) / N)
    return p, error

print(montecarlo(1000))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema veremos la historia del método: de los dados de Ulam y von Neumann en Los Álamos a la computadora moderna.