Ley de los Grandes Números aplicada

01 · Punto de partida

Por qué promediar no es un acto de fe

Vimos que el promedio se calma. La Ley de los Grandes Números (LGN) dice que tiene que calmarse en el valor correcto, siempre que los sorteos sean iid y la esperanza exista.

Es el contrato de Monte Carlo: vos ponés iid y N grande; la ley pone la convergencia.

• ¿Mis sorteos son iid de verdad?
• ¿La esperanza existe (no es infinita)?
• ¿Qué tan rápido llega (1/√N)?
• ¿Qué rompe el contrato?

02 · Definición

Débil, fuerte y útil

03 · Intuición

El pasado amortigua en 3 ideas

1. 1
   El nuevo pesa 1/N.

   El dato 10 000 mueve el promedio 10 000 veces menos que el primero. El ruido se diluye.

2. 2
   Los desvíos se cancelan.

   Altos y bajos se compensan porque son independientes y centrados en θ.

3. 3
   La varianza muere como 1/N.

   Var(promedio) = σ²/N → 0. Sin varianza no hay a dónde escapar.

Cauchy (contraejemplo)

Sin esperanza: el promedio sigue saltando con N = 1 000 000. Prueba de que la condición importa.

Chebyshev

P(|θ̂ − θ| > e) ≤ σ²/(N·e²). Cota gruesa pero sin suponer normalidad.

Velocidad

La LGN dice «llega»; el Teorema Central dice «a 1/√N». Juntas justifican N = (zσ/e)².

04 · Ejemplos

La ley en acción

1. 1
   Moneda.

   8 trayectorias parten dispersas y terminan apiñadas en 0,5. El laboratorio lo muestra.

2. 2
   Dado.

   Todas tienden a 3,5 aunque alguna arranque en 6. El inicio se olvida.

3. 3
   Cauchy.

   Todas saltan para siempre: sin esperanza no hay llegada. La excepción que confirma.

05 · Representación en Python

Ocho trayectorias, una llegada

import random

def trayectoria(N, semilla):
    random.seed(semilla)
    s, out = 0, []
    for i in range(1, N + 1):
        s += random.random() < 0.5
        if i % 200 == 0:
            out.append(round(s / i, 4))
    return out

for s in range(1, 4):
    t = trayectoria(2000, s)
    print(s, t[0], "...", t[-1])

import random

# Cauchy: sin esperanza, no converge
def cauchy():
    u = random.random()
    import math
    return math.tan(math.pi * (u - 0.5))

s = 0
for i in range(1, 2001):
    s += cauchy()
    if i % 500 == 0:
        print(i, round(s / i, 2))

06 · Exploración

Laboratorio: el abanico se cierra

Ocho corridas independientes de moneda. Al inicio el abanico es ancho; al final todas viven en la banda ±0,02. Eso es la LGN a ojo.

Cada línea es una semilla. Si alguna termina fuera de la banda con N grande, es el 5% esperable, no una refutación.

Preguntas para explorar

1. Con N = 500, ¿el abanico final entra en ±0,02?
2. Con N = 15 000, ¿cuántos caminos quedan fuera?
3. ¿Por qué los caminos se cruzan al inicio y casi no al final?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: ancho inicial vs final

Con 8 semillas y N = 4 000, compará el rango en n = 100 y en n = 4 000.

import random

def final_y(n100, N, s):
    random.seed(s)
    s100, tot = 0, 0
    for i in range(1, N + 1):
        tot += random.random() < 0.5
        if i == 100:
            s100 = tot / 100
    return s100, tot / N

inis = [final_y(100, 4000, s)[0] for s in range(8)]
fins = [final_y(100, 4000, s)[1] for s in range(8)]
print("ancho inicio:", round(max(inis) - min(inis), 3))
print("ancho final:", round(max(fins) - min(fins), 3))

Ejercicio 2: Chebyshev a mano

Acotá P(|θ̂ − 0,5| > 0,05) con N = 1 000 y σ = 0,5.

sigma, N, e = 0.5, 1000, 0.05
print(sigma**2 / (N * e**2))

Ejercicio 3: romper el contrato

Promediá reutilizando el mismo U 2 veces y mostrá que converge… mal.

import random

N = 10000
us = [random.random() for _ in range(N // 2)]
doble = us + us  # reutilizado: no iid
print(sum(1 for u in doble if u < 0.5) / N)
print("iid real:", sum(1 for _ in range(N) if random.random() < 0.5) / N)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema cuantificaremos el temblor: la estimación del error.