01 · Punto de partida
π sin fórmula, solo con puntos
Tiramos puntos uniformes en el cuadrado [0,1]². La fracción que cae en el cuarto de círculo x²+y² ≤ 1 tiende a π/4. Despejamos: π ≈ 4·dentro/N.
Es el ejemplo perfecto: modelo trivial, visual directo y error conocido. Todo lo que aprendas aquí vale para áreas e integrales.
- ¿Qué escenario sorteo en cada réplica?
- ¿Cómo decido «dentro» con una línea?
- ¿Qué N da ±0,01?
- ¿El intervalo cubre a 3,1416?
02 · Definición
Geometría que se vuelve probabilidad
Cuadrado
Área 1: el universo de puntos. Sortear (x,y) es sortear escenarios.
Círculo
Área π/4: el evento. P(dentro) = área/1 = π/4 sin medir nada.
Por 4
El 4 convierte la probabilidad en π. Es el «modelo» g(x) de este problema.
| N | SE de π̂ | Uso |
|---|---|---|
| 1 000 | ±0,05 | Demo en clase |
| 10 000 | ±0,016 | 2 decimales creíbles |
| 100 000 | ±0,005 | Publicable |
| 1 000 000 | ±0,0016 | 3 decimales con suerte |
03 · Algoritmo
π en 4 líneas mentales
- 1Sortear.
x, y ~ U(0,1) independientes. Un punto por réplica.
- 2Probar.
dentro = (x²+y² ≤ 1). Un 0/1 por punto.
- 3Contar y ×4.
π̂ = 4·dentro/N. El promedio se vuelve geometría.
- p = π/4 ≈ 0,785
- Probabilidad de caer dentro. Su varianza p(1−p) fija el error de π̂.
- Error
- SE = 4·√[p(1−p)/N] ≈ 1,64/√N. Para ±0,01 hacen falta ~27 000 puntos.
- Semilla
- Fijarla para la figura del informe; variarla para validar que π̂ no depende de ella.
04 · Variantes
El mismo truco, tres sabores
- 1Cuarto de círculo.
El clásico de este tema: 1 cuadrante, ×4.
- 2Círculo entero.
Puntos en [−1,1]², dentro = x²+y² ≤ 1, π̂ = 4·dentro/N. Mismo error.
- 3Aguja de Buffon.
π̂ = N/cruces (tema 2). Menos eficiente, más histórico.
05 · Representación en Python
π en 6 líneas con intervalo
Python en tu navegador. Estimá π con su IC₉₅: el informe completo.
import random
import math
N = 20000
dentro = sum(1 for _ in range(N) if random.random()**2 + random.random()**2 <= 1)
p = dentro / N
pi = 4 * p
se = 4 * math.sqrt(p * (1 - p) / N)
print(f"pi {pi:.4f} ± {se:.4f}")
print(f"IC95 [{pi-1.96*se:.4f}, {pi+1.96*se:.4f}]")06 · Exploración
Laboratorio: lluvia sobre el círculo
Tiramos N puntos en el cuadrado. Verdes dentro, naranjas fuera. A la derecha, π̂ con su banda ±2·SE convergiendo a 3,1416.
Lluvia que dibuja π
π̂ = 4·dentro / N
Tocá «Tirar puntos» para estimar π.
Izquierda: el cuadrado con el cuarto de círculo. Derecha: la trayectoria de π̂ hacia 3,1416. Más puntos = menos temblor.
Preguntas para explorar
- Con N = 500, ¿π̂ puede dar 3,0 o 3,3?
- Con N = 30 000, ¿sale de 3,14 ± 0,02?
- ¿Por qué los puntos deben ser uniformes y no «a ojo»?
Ver respuestas sugeridas
- Sí: SE ≈ 0,07. Es ruido, no bug.
- Rara vez: SE ≈ 0,009. Dos decimales estables.
- «A ojo» dejamos huecos y grumos: la fracción ya no estima el área. Uniforme = representativo.
07 · Comprensión
Confusiones frecuentes
«π̂ = dentro/N»
Falta el 4: dentro/N estima π/4 ≈ 0,785. Sin ×4 estimás el área del cuarto, no π.
«Con N = 200 ya tengo 3,14»
Tenés 3,14 ± 0,11: dos cifras parecidas por suerte. El ± dice la verdad.
«Más puntos en el centro acelera»
Sesga: deben ser uniformes. Muestrear «donde importa» es importance sampling (tema 24), no este π.
«El dibujo es la estimación»
El dibujo ilustra con 1 000 puntos; la estimación seria usa 100 000 sin dibujar.
08 · Práctica guiada
Ejercicios con Python
Ejercicio 1: π rápido
Estimá π con N = 5 000 y reportá con error.
import random
import math
N = 5000
d = sum(1 for _ in range(N) if random.random()**2 + random.random()**2 <= 1)
p = d / N
print(4*p, 4*math.sqrt(p*(1-p)/N))Ver solución razonada
~3,14 ± 0,023. El error sale de p sin guardar puntos.
Ejercicio 2: N para ±0,01
Calculá el N teórico con p = 0,785.
import math
p = 0.785
se_objetivo = 0.01 / 1 # 1 SE (para IC95 dividir por 1.96)
print(math.ceil((4*math.sqrt(p*(1-p))/0.01)**2))Ver solución
~27 000 para SE = 0,01 (≈ ±0,02 al 95%). Cada decimal extra cuesta 100×.
Ejercicio 3: círculo entero
Repetí con puntos en [−1,1]² y verificá que da lo mismo.
Ver una posible respuesta
import random
N = 10000
d = sum(1 for _ in range(N)
if (2*random.random()-1)**2 + (2*random.random()-1)**2 <= 1)
print(4*d/N)Mismo 3,14 ± 0,016. Cambia el marco, no el método.
09 · Síntesis
Ideas para recordar
- π̂ = 4·dentro/N con (x,y) uniformes: probabilidad que se vuelve geometría.
- Error 4·√[p(1−p)/N] ≈ 1,64/√N: ~27 000 para ±0,01.
- Siempre con IC: π̂ [li, ls] al 95%.
- Figura con pocos puntos, informe con muchos.
- El patrón vale para cualquier área e integral.
En el próximo tema generalizaremos al cálculo de áreas: contar puntos para medir superficies raras.