Cálculo de áreas

01 · Punto de partida

π era solo el caso 1

El truco de π funciona para cualquier figura: encerrarla en una caja de área conocida, tirar puntos uniformes y contar. La fracción dentro estima la fracción de áreas.

Sin integrales ni mallas: una función dentro(x,y) y un promedio.

• ¿Qué caja encierra justo a mi figura?
• ¿Cómo escribo dentro(x,y) en una línea?
• ¿Qué N da el ± que necesito?
• ¿El IC cubre el valor teórico?

02 · Definición

Tres piezas del método

03 · Método

Medir en 4 pasos

1. 1
   Elegir caja.

   Ajustada: si la figura ocupa 10% de la caja, el 90% de los puntos se desperdicia.

2. 2
   Sortear uniforme.

   x ~ U(x0,x1), y ~ U(y0,y1) independientes. Uniforme de verdad.

3. 3
   Contar dentro.

   Evaluar el test y acumular. Un entero basta.

4. 4
   Multiplicar y dar IC.

   A·p̂ ± A·1,96·√[p̂(1−p̂)/N]. Sin IC no hay medición.

Eficiencia

Fracción p = área/caja. Si p es 0,01, el 99% no aporta: achicar la caja o cambiar de método.

Error absoluto

Escala con A(caja): cajas grandes dan errores grandes aunque p sea igual.

Test vectorizado

La misma dentro sirve para 1 punto o 1 millón: el costo es lineal.

04 · Ejemplos

Del círculo a lo raro

1. 1
   Elipse.

   Área real 2π ≈ 6,283. Caja 8. p ≈ 0,785: eficiente como π.

2. 2
   Seno.

   Área bajo sin en [0,π] = 2. Caja π ≈ 3,14. p ≈ 0,64.

3. 3
   Intersección.

   Dos círculos que se cortan: el test es un and. Analítico, un dolor; Monte Carlo, una línea.

05 · Representación en Python

Función área para cualquier figura

import random
import math

def estimar_area(dentro, x0, x1, y0, y1, N):
    A = (x1 - x0) * (y1 - y0)
    c = 0
    for _ in range(N):
        x = random.uniform(x0, x1)
        y = random.uniform(y0, y1)
        if dentro(x, y):
            c += 1
    p = c / N
    se = A * math.sqrt(p * (1 - p) / N)
    return A * p, se

area, se = estimar_area(lambda x, y: x*x/4 + y*y <= 1, -2, 2, -1, 1, 20000)
print(f"{area:.4f} ± {se:.4f} (real {2*math.pi:.4f})")

06 · Exploración

Laboratorio: la elipse vale 2π

Puntos uniformes en la caja [−2,2]×[−1,1] (área 8). Verdes dentro de x²/4+y² ≤ 1, naranjas fuera. Área ≈ 8·dentro/N → 6,283.

La elipse ocupa ~78% de la caja: eficiente. Si la caja fuera 10× más grande, el error sería 10× mayor con igual N.

Preguntas para explorar

1. Con N = 500, ¿el área puede dar 6,0 o 6,6?
2. ¿Qué pasa si agrandás la caja al doble manteniendo N?
3. ¿Por qué este método no necesita la fórmula del área?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: elipse rápida

Estimá la elipse con N = 10 000 y compará con 2π.

import random
import math

N = 10000
d = sum(1 for _ in range(N)
        if (2*random.random()*4-2)**2/4 + (2*random.random()-1)**2 <= 1)
# más claro con uniform:
N = 10000
d = 0
for _ in range(N):
    x = random.uniform(-2, 2)
    y = random.uniform(-1, 1)
    if x*x/4 + y*y <= 1:
        d += 1
print(8*d/N, 2*math.pi)

Ejercicio 2: bajo el seno

Área bajo sin(x) en [0,π] (real = 2) con caja π.

import random
import math

N = 20000
d = 0
for _ in range(N):
    x = random.uniform(0, math.pi)
    y = random.uniform(0, 1)
    if y <= math.sin(x):
        d += 1
print(math.pi*d/N)

Ejercicio 3: caja ajustada vs gigante

Estimá el cuarto de círculo con caja [0,1]² y con caja [0,2]². Compará errores.

import random
import math

def area_caja(L, N):
    d = sum(1 for _ in range(N)
            if (random.uniform(0, L)**2 + random.uniform(0, L)**2 <= 1))
    p = d / N
    return L*L*p, L*L*math.sqrt(p*(1-p)/N)

print(area_caja(1, 20000))
print(area_caja(2, 20000))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema veremos la integración Monte Carlo: promediar la función en vez de contar puntos.