Integración Monte Carlo

01 · Punto de partida

El área bajo la curva es un promedio

Contar puntos (tema 17) funciona, pero desperdicia: solo usa 0/1. Si evaluamos f(xᵢ) directamente, cada réplica aporta su altura y el promedio estima la altura media. Por el ancho sale la integral.

Es más eficiente que contar y vale para cualquier f integrable, tenga o no primitiva.

• ¿En qué intervalo integro (a, b)?
• ¿Cómo sorteo xᵢ uniforme en (a, b)?
• ¿Qué promedio calculo?
• ¿Con qué error?

02 · Definición

De contar a promediar

03 · Algoritmo

Integrar en 3 pasos

1. 1
   Sortear.

   xᵢ = a + (b−a)·U con U ~ U(0,1). Uniformes en el intervalo.

2. 2
   Evaluar y promediar.

   m = Σf(xᵢ)/N, s = desvío de f(xᵢ).

3. 3
   Escalar y dar IC.

   Î = (b−a)·m ± (b−a)·1,96·s/√N.

Sin primitiva

Vale igual para e^(−x²), sin(x)/x o datos tabulados: solo pide evaluar f.

Función plana

Si f varía poco, s es chico y converge rápido. Lo rugoso pide más N.

Dimensión

El error sigue 1/√N en 1D o 10D: por eso Monte Carlo gana en dimensión alta.

04 · Ejemplos

Tres integrales de juguete

1. 1
   ∫₀¹ x² = 1/3.

   El laboratorio: altura media 1/3, ancho 1.

2. 2
   ∫₀^π sin = 2.

   Ancho π, altura media 2/π ≈ 0,64.

3. 3
   ∫₀¹ e^(−x²) ≈ 0,747.

   Sin primitiva elemental: Monte Carlo la estima igual.

05 · Representación en Python

Integrador genérico en 8 líneas

import random
import statistics
import math

def integrar(f, a, b, N):
    xs = [a + (b - a) * random.random() for _ in range(N)]
    vals = [f(x) for x in xs]
    m = sum(vals) / N
    s = statistics.pstdev(vals)
    I = (b - a) * m
    se = (b - a) * s / math.sqrt(N)
    return I, se

I, se = integrar(lambda x: x**2, 0, 1, 20000)
print(f"{I:.4f} ± {se:.4f} (real 0.3333)")

import random
import math

N = 20000
m = sum(math.sin(random.uniform(0, math.pi)) for _ in range(N)) / N
print(f"{math.pi * m:.4f} (real 2.0000)")

06 · Exploración

Laboratorio: altura media de x²

Puntos (xᵢ, xᵢ²) sobre la parábola en [0,1]. La línea amarilla es tu altura media; la gris es 1/3. El área sombreada es tu integral.

Cada punto aporta su altura xᵢ². Con N chico la media salta; con N grande se pega a 1/3.

Preguntas para explorar

1. Con N = 200, ¿la altura media puede dar 0,28 o 0,39?
2. ¿Por qué promediar xᵢ² es mejor que contar puntos bajo la curva?
3. Si f fuera constante 5, ¿qué error habría?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: x² en [0,1]

Estimá con N = 10 000 y compará con 1/3.

import random
import math

N = 10000
m = sum((random.random()**2) for _ in range(N)) / N
print(m, 1/3)

Ejercicio 2: seno en [0,π]

Estimá ∫₀^π sin (real = 2).

import random
import math

N = 20000
m = sum(math.sin(random.uniform(0, math.pi)) for _ in range(N)) / N
print(math.pi * m)

Ejercicio 3: sin primitiva

Estimá ∫₀¹ e^(−x²) y verificá ~0,747.

import random
import math

N = 20000
m = sum(math.exp(-random.random()**2) for _ in range(N)) / N
print(m)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema aplicaremos el caso base: integración en el intervalo (0,1).