Integración en el intervalo (0,1)

01 · Punto de partida

Ancho 1, todo simple

Si el intervalo es (0,1), el factor (b−a) vale 1 y desaparece: ∫₀¹ f = E[f(U)]. Sortear U, evaluar f y promediar. Es el ladrillo con el que se construyen todos los demás casos.

Todo intervalo (a,b) y todo dominio raro se reducen a este caso con un cambio de variable.

• ¿Mi integral ya está en (0,1)?
• ¿Qué f evalúo por réplica?
• ¿Qué error tiene mi promedio?
• ¿Cómo la llevo a (a,b) si hace falta?

02 · Definición

La fórmula más corta del curso

03 · Algoritmo

Tres líneas y listo

1. 1
   Sortear U.

   u = random.random(). Nada más.

2. 2
   Evaluar.

   y = f(u): x², √x, e^(−x).

3. 3
   Promediar ±.

   m ± 1,96·s/√N. Ese es el informe.

Referencia

Todo (a,b) se mapea a (0,1) con x = a + (b−a)u. Entender (0,1) es entender todo.

Función suave

Si f es suave, s es chico y converge rápido. e^(−x) converge mejor que √x (pico en 0).

Test

Probar con x² = 1/3 antes de integrar lo desconocido: si falla ahí, falla en todo.

04 · Ejemplos

El trío de prueba

1. 1
   x² → 1/3.

   El «hola mundo»: parábola suave, σ ≈ 0,30.

2. 2
   √x → 2/3.

   Pendiente infinita en 0: un poco más ruidosa.

3. 3
   e^(−x) → 0,6321.

   Plana y amable: la más fácil de las tres.

05 · Representación en Python

El integrador base

import random
import math

def integrar01(f, N):
    s = sum(f(random.random()) for _ in range(N))
    return s / N

N = 20000
print("x^2:", integrar01(lambda x: x**2, N), "(1/3)")
print("sqrt:", integrar01(math.sqrt, N), "(2/3)")
print("exp(-x):", integrar01(lambda x: math.exp(-x), N), "(0.6321)")

06 · Exploración

Laboratorio: tres curvas, un método

Elegí la función y las muestras. La curva es f; los puntos son (Uᵢ, f(Uᵢ)); la amarilla tu media y la gris el valor exacto.

e^(−x) es plana y se calma rápido; √x tiene pico en 0 y tiembla más. La forma de f manda el error.

Preguntas para explorar

1. Con N = 500, ¿qué función se acerca más a su exacta?
2. ¿Por qué √x tiembla más que e^(−x)?
3. ¿Qué N necesita cada una para ±0,005?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: validar el trío

Estimá las tres con N = 20 000.

import random
import math

N = 20000
print(sum((random.random()**2) for _ in range(N)) / N)
print(sum((math.sqrt(random.random())) for _ in range(N)) / N)
print(sum((math.exp(-random.random())) for _ in range(N)) / N)

Ejercicio 2: error de cada una

Calculá s y SE para x² con N = 5 000.

import random
import statistics
import math

vals = [random.random()**2 for _ in range(5000)]
s = statistics.pstdev(vals)
print(round(s, 3), round(s / math.sqrt(5000), 4))

Ejercicio 3: la más fácil

¿Cuál de las tres necesita menos N para ±0,005? Justificá con σ.

for nombre, sigma in [("x2", 0.30), ("sqrt", 0.24), ("exp", 0.18)]:
    N = int((1.96 * sigma / 0.005) ** 2) + 1
    print(nombre, N)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema escalaremos a intervalos (a,b): el mismo promedio por el ancho.