Integración en intervalos (a,b)

01 · Punto de partida

Todo (a,b) es un (0,1) estirado

Si sabés integrar en (0,1), sabés integrar en cualquier (a,b): transformás U en x = a + (b−a)·U y multiplicás el promedio por el ancho. Nada más cambia.

El error también se estira: intervalos anchos o funciones altas piden más N.

• ¿Cuáles son mi a y b?
• ¿Cómo genero xᵢ en (a,b)?
• ¿Por qué ancho multiplico?
• ¿Cómo verifico con un caso exacto?

02 · Definición

Estirar, evaluar, escalar

03 · Algoritmo

El mismo código, dos líneas más

1. 1
   Sortear en (a,b).

   x = a + (b-a)*random() o uniform(a, b).

2. 2
   Promediar f(xᵢ).

   Igual que en (0,1): media y s de las alturas.

3. 3
   Multiplicar.

   Î = (b−a)·media, SE = (b−a)·s/√N. No olvidar el ×.

Olvidar el ancho

El bug clásico: promediar en (a,b) sin ×(b−a) estima la altura media, no la integral.

Ancho grande

Duplicar el ancho duplica el error con igual N. Achicar el intervalo (si se puede) es gratis.

Verificación

Probar con x² en (1,2) = 7/3 antes de lo desconocido.

04 · Ejemplos

Estirar tres veces

1. 1
   x² en (1,2).

   x = 1 + U, Î = promedio(xᵢ²) × 1 → 7/3.

2. 2
   sin en (0,π).

   x = π·U, Î = π·promedio(sin) → 2.

3. 3
   Normal en (−2,2).

   Ancho 4 por altura media: colas recortadas con error conocido.

05 · Representación en Python

Integrador (a,b) genérico

import random
import statistics
import math

def integrar_ab(f, a, b, N):
    vals = [f(random.uniform(a, b)) for _ in range(N)]
    m = sum(vals) / N
    s = statistics.pstdev(vals)
    return (b - a) * m, (b - a) * s / math.sqrt(N)

I, se = integrar_ab(lambda x: x**2, 1, 2, 20000)
print(f"{I:.4f} ± {se:.4f} (real 2.3333)")
I2, se2 = integrar_ab(math.sin, 0, math.pi, 20000)
print(f"{I2:.4f} ± {se2:.4f} (real 2.0000)")

06 · Exploración

Laboratorio: estirar la parábola

Integramos x² moviendo a y b. La zona verde es tu [a,b]; los puntos son (xᵢ, xᵢ²). La integral exacta (b³−a³)/3 verifica.

Si b ≤ a, se intercambian: la integral cambia de signo. Intervalos anchos = bandas más anchas con igual N.

Preguntas para explorar

1. Con [1,2], ¿la estimada ronda 2,333?
2. Con [0,3], ¿el error es mayor que con [1,2] a igual N? ¿Por qué?
3. ¿Qué pasa si ponés a > b?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: x² en (1,2)

Estimá y compará con 7/3.

import random

N = 20000
m = sum((random.uniform(1, 2)**2) for _ in range(N)) / N
print(m, 7/3)

Ejercicio 2: seno en (0,π)

Estimá ∫₀^π sin con el ×π explícito.

import random
import math

N = 20000
m = sum(math.sin(random.uniform(0, math.pi)) for _ in range(N)) / N
print(math.pi * m)

Ejercicio 3: reutilizar (0,1)

Integrá x² en (2,4) vía g(u) = f(2+2u) por 2.

import random

N = 20000
m = sum(((2 + 2*random.random())**2) for _ in range(N)) / N
print(2*m, (64-8)/3)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema subiremos de dimensión: integración en dominios multidimensionales.