Integración en dominios multidimensionales

01 · Punto de partida

La maldición que Monte Carlo rompe

Integrar en 5 dimensiones con cuadrícula de 10 puntos por eje pide 10⁵ = 100 000 evaluaciones. En 10 dimensiones, 10¹⁰: imposible. Monte Carlo pide lo mismo en cualquier dimensión: N puntos al azar, un promedio, por el volumen.

El precio es el mismo 1/√N de siempre; la recompensa es que la dimensión deja de importar.

• ¿Cuál es el volumen de mi dominio?
• ¿Cómo sorteo uniforme en ese dominio?
• ¿Qué promedio calculo?
• ¿Por qué la cuadrícula pierde y el azar gana?

02 · Definición

Volumen por promedio

03 · Algoritmo

Integrar en d dimensiones en 3 pasos

1. 1
   Sortear el punto.

   Una uniforme por coordenada. En [0,1]²: (random(), random()).

2. 2
   Evaluar y promediar.

   m = Σf(Xᵢ)/N, s = desvío de las alturas.

3. 3
   Multiplicar por Vol.

   En el cubo unitario Vol = 1: el promedio YA es la integral.

Hipercubo [0,1]ᵈ

El caso base: Vol = 1, sorteo trivial. Todo rectángulo se estira desde aquí.

Dominio raro

Se encierra en caja y se multiplica por dentro/fuera, o se parametriza. El test decide.

Dimensión alta

Finanzas (decenas de activos) y física (cientos de partículas): solo Monte Carlo llega.

04 · Ejemplos

Tres integrales 2D exactas

1. 1
   x·y en [0,1]² → 1/4.

   Separable: 1/2 × 1/2. Test de tu código.

2. 2
   x²+y² → 2/3.

   Suma de marginales: 1/3 + 1/3.

3. 3
   e^(−x−y) → (1−1/e)² ≈ 0,40.

   Sin primitiva mixta a mano: Monte Carlo igual.

05 · Representación en Python

El mismo bucle, un U más por dimensión

import random

def integrar2(f, N):
    return sum(f(random.random(), random.random()) for _ in range(N)) / N

N = 30000
print("x*y:", integrar2(lambda x, y: x*y, N), "(1/4)")
print("x2+y2:", integrar2(lambda x, y: x**2 + y**2, N), "(2/3)")

import random

def integrar_d(f, d, N):
    tot = 0
    for _ in range(N):
        xs = [random.random() for _ in range(d)]
        tot += f(xs)
    return tot / N

print(integrar_d(lambda xs: sum(x**2 for x in xs), 5, 20000), "(5/3)")

06 · Exploración

Laboratorio: pintar el cuadrado por altura

Cada punto (x,y) se pinta según f: claro = alto. El promedio de esos tonos es la integral. Cambiá f y N.

x·y crece hacia arriba-derecha; x²+y² hacia los bordes. El color muestra dónde aporta cada punto.

Preguntas para explorar

1. ¿Qué función tiembla más a igual N? ¿Por qué?
2. ¿El error en 2D cae más lento que en 1D?
3. ¿Qué pasaría con 10 puntos por eje en 6D?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: x·y con N = 20 000

Verificá 1/4.

import random

N = 20000
print(sum(random.random()*random.random() for _ in range(N)) / N)

Ejercicio 2: volumen de la esfera

Fracción de puntos en x²+y²+z² ≤ 1 dentro de [−1,1]³ (Vol = 8) → 4,19.

import random

N = 30000
d = sum(1 for _ in range(N)
        if (2*random.random()-1)**2 + (2*random.random()-1)**2 + (2*random.random()-1)**2 <= 1)
print(8*d/N)

Ejercicio 3: 5D de juguete

∫ Σxᵢ² en [0,1]⁵ = 5/3 ≈ 1,667 con un integrador genérico.

import random

def f(xs):
    return sum(x*x for x in xs)

N, d = 20000, 5
print(sum(f([random.random() for _ in range(d)]) for _ in range(N)) / N)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema domaremos lo infinito: integración en intervalos infinitos.