Integración en intervalos infinitos

01 · Punto de partida

No se puede sortear hasta infinito

U(a,b) con b = ∞ no existe. Hay dos salidas: truncar en [0,L] y acotar la cola que se pierde, o transformar (0,1) en (0,∞) con un cambio de variable y sortear exponenciales.

El ejemplo guía: ∫₀^∞ e^(−x) dx = 1. Cabe en la cabeza y prueba ambos caminos.

• ¿La cola más allá de L es despreciable?
• ¿Qué L deja sesgo menor que mi e?
• ¿Qué cambio x = φ(u) mapea (0,1) al infinito?
• ¿Muestreo directo de la cola en vez de truncar?

02 · Definición

Dos caminos al infinito

03 · Método

Elegir camino en 3 preguntas

1. 1
   Medir la cola.

   Para e^(−x), cola(L) = e^(−L). Con L = 7, sesgo ≈ 0,001: despreciable.

2. 2
   Si decae rápido, truncar.

   Elegir L con sesgo < e/2 y gastar el resto en N. Simple y robusto.

3. 3
   Si no, transformar.

   Mapear y promediar f(φ)·φ′ en (0,1). Sin sesgo, vigilar la varianza cerca de u = 1.

Sesgo de truncamiento

Lo que falta más allá de L. Se acota analíticamente o agrandando L hasta que no se mueva.

Jacobiano φ′

El precio del doblez: estira el diferencial dx = φ′(u)du. Si explota, la varianza explota.

Cola pesada

Decae lento (1/x²): truncar pide L enorme. Mejor muestreo de la cola o importance sampling.

04 · Ejemplos

Tres infinitos domados

1. 1
   ∫₀^∞ e^(−x) = 1.

   Truncar en L = 8 (sesgo 0,0003) o sortear exponenciales directo.

2. 2
   Normal (−∞,∞).

   Truncar en [−5,5] (cola ~10⁻⁶) o mapear con tan.

3. 3
   ∫₁^∞ 1/x² = 1.

   Con x = 1/(1−u): integral en (0,1) de 1. Sin truncar.

05 · Representación en Python

Truncar y transformar, lado a lado

import random
import math

def truncada(N, L=8):
    m = sum(math.exp(-random.uniform(0, L)) for _ in range(N)) / N
    return L * m  # sesgo = exp(-L)

def transformada(N):
    # x = -ln(1-u), dx = du/(1-u); e^-x * dx = du: integral exacta 1
    tot = 0
    for _ in range(N):
        u = random.random()
        x = -math.log(1 - u)
        tot += 1.0  # f*phi' = 1
    return tot / N

N = 20000
print("truncada:", round(truncada(N), 4), "sesgo ~", round(math.exp(-8), 5))
print("transformada:", round(transformada(N), 4))

06 · Exploración

Laboratorio: cortar la cola de e^(−x)

Mové el corte L. La zona verde es lo integrado; la gris la cola perdida e^(−L). Con L chico hay sesgo; con L grande, más varianza por el ancho.

Con L = 2 la cola es 0,135: sesgo enorme. Con L = 8 es 0,0003: despreciable frente al error Monte Carlo.

Preguntas para explorar

1. Con L = 2 y N gigante, ¿la estimada llega a 1? ¿Por qué no?
2. Con L = 10, ¿el error es sesgo o varianza?
3. ¿Qué L elegirías para e = 0,005?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: truncar e^(−x)

Con L = 5 y N = 20 000, compará con 1 − e^(−5).

import random
import math

L, N = 5, 20000
m = sum(math.exp(-random.uniform(0, L)) for _ in range(N)) / N
print(L*m, 1-math.exp(-L))

Ejercicio 2: mapa 1/x²

Con x = 1/(1−u), mostrá que ∫₁^∞ 1/x² = promedio de 1.

import random

N = 10000
m = sum(1.0 for _ in range(N)) / N
print(m)

Ejercicio 3: elegir L

¿Qué L deja cola menor que 0,001 para e^(−x)?

import math

for L in [5, 6, 7, 8]:
    print(L, round(math.exp(-L), 5))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema sortearemos cualquier F sin rodeos: el muestreo directo.