23. Muestreo directo | Monte Carlo y Simulación Estática

01 · Punto de partida

Si podés sortear F, no inventes otra

Muestreo directo es sortear exactamente de la distribución objetivo: exponenciales con logaritmo, normales con Box-Muller o gauss, discretas con cortes. Sin pesos, sin correcciones, sin rechazos.

Es la referencia contra la que se miden importance sampling y rechazos: simple, insesgado y con varianza mínima para ese estimador.

¿Tiene mi F inversa cerrada?
¿Hay función lista en random?
¿El directo es barato por réplica?
¿Cuándo deja de alcanzar?

02 · Definición

Tres directos que cubren el 90%

📐

Inversa cerrada

Exponencial, uniforme, discreta: X = F⁻¹(U) con una línea.

🔔

Construida

Normal por Box-Muller o suma: dos U hacen una campana.

🐍

De librería

uniform, randint, choices, gauss, expovariate: directo ya probado.

X = F⁻¹(U) \cdot U ~ U(0,1)

Recetario directo.
F objetivo	Receta	Código
U(a,b)	a + (b−a)U	`random.uniform(a, b)`
Exponencial(λ)	−ln(1−U)/λ	`random.expovariate(lam)`
Normal(μ,σ)	Box-Muller	`random.gauss(mu, sigma)`
Discreta con pesos	Cortes acumulados	`random.choices(v, weights)`
Bernoulli(p)	U < p	`random.random() < p`

03 · Cuándo alcanza y cuándo no

F simple→Directo→Si no, IS

1
Si hay inversa o librería.
Directo: una línea por muestra, varianza base.
2
Si F es rara o truncada.
Directo con cortes o con normal truncada a mano.
3
Si el evento es raro o f pica.
El directo desperdicia: pasar a importance sampling (tema 24).

Directo gana

Medias y cuerpos

Estimating E[X], áreas centrales, integrales suaves: simple e imbatible.

Directo pierde

Colas raras

P(X > 5) con N = 1 000 da 0 casos: sin muestras no hay estimación.

04 · Ejemplos

Directos de todos los días

1
Tiempo entre fallas Exp(0,5).
Media 2: −ln(1−U)/0.5.
2
Costo N(100,15).
gauss(100, 15) truncado en 0.
3
Demanda 30/40/30.
Cortes 0,3/0,7 con un U.

05 · Representación en Python

Directo a mano y de librería

Python en tu navegador. La versión a mano enseña; la de librería produce.

import random
import math

def exp_manual(lam):
    return -math.log(1 - random.random()) / lam

N = 10000
lam = 0.5
m1 = sum(exp_manual(lam) for _ in range(N)) / N
m2 = sum(random.expovariate(lam) for _ in range(N)) / N
print("manual:", round(m1, 3), "librería:", round(m2, 3), "(teórico 2.0)")

import random

# Normal por Box-Muller a mano (una muestra)
import math
def normal_manual(mu=0, sigma=1):
    u1, u2 = random.random(), random.random()
    z = math.sqrt(-2*math.log(u1)) * math.cos(2*math.pi*u2)
    return mu + sigma*z

print(round(sum(normal_manual(100, 15) for _ in range(5000)) / 5000, 2))

06 · Exploración

Laboratorio: la exponencial sale del logaritmo

Sorteamos Exp(λ) con −ln(1−U)/λ. El histograma debe copiar la curva teórica λe^(−λx) y la media pegarse a 1/λ.

EXPERIMENTO 23

Directo que se verifica solo

X = −ln(1−U)/λ

λ: 0,5 N: 5.000

Media muestral—

Teórica 1/λ—

P(X > 5)—

Lectura—

Tocá «Sortear» para muestrear.

Barras: tu muestra. Curva blanca: teoría. Con λ chico la cola es larga; con λ grande se aprieta a 0.

Preguntas para explorar

Con λ = 0,5, ¿la media ronda 2? ¿Y con λ = 2?
¿Por qué P(X > 5) con λ = 2 y N = 500 suele dar 0?
¿Qué harías si necesitaras esa cola rara?

Ver respuestas sugeridas

Sí: 1/0,5 = 2 y 1/2 = 0,5. El directo es fiel.
La real es e^(−10) ≈ 0,00005: con 500 no cae ni uno. Directo desperdicia.
Importance sampling (tema 24): muestrear donde está la cola y ponderar.

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

«Directo es siempre lo mejor»

Es lo más simple, no lo más eficiente: en colas raras casi no muestrea lo que importa.

«gauss da exacto»

Da muestras exactas de la normal, no el valor exacto: el promedio sigue temblando 1/√N.

«Inversa aproximada vale»

Solo si el error numérico es menor que tu e. Cerca de u = 1 el logaritmo es delicado.

«Todo tiene inversa cerrada»

No: muchas F piden numérica, rechazo o MCMC. El directo cubre lo común, no todo.

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: exponencial fiel

Con λ = 1 y N = 10 000, verificá media ~1.

import random

lam, N = 1.0, 10000
print(sum(random.expovariate(lam) for _ in range(N)) / N)

Ver solución razonada

~1,00 ± 0,01. El directo de librería es la referencia.

Ejercicio 2: normal truncada

Costos N(100,15) sin negativos: truncá en 0 y compará la media.

import random

N = 10000
cs = [max(0, random.gauss(100, 15)) for _ in range(N)]
print(sum(cs) / N)

Ver solución

~100,0: truncar en 0 casi no mueve la media porque P(<0) es minúscula.

Ejercicio 3: detectar el límite

Estimá P(Exp(1) > 8) con N = 5 000 directo. ¿Qué ves?

Ver una posible respuesta

import random

N = 5000
print(sum(1 for _ in range(N) if random.expovariate(1) > 8) / N)

Casi siempre 0 (real ≈ 0,0003). El directo no ve colas raras: pide importance sampling.

09 · Síntesis

Ideas para recordar

Directo = sortear de F con F⁻¹(U) o librería: promedio simple.
Cubre uniforme, exponencial, normal, discretas y Bernoulli.
Es la referencia: simple, insesgado, varianza base.
Falla en colas raras: sin muestras no hay estimación.
En producción, librería; a mano solo para aprender.

En el próximo tema sortearemos donde importa: Importance Sampling.