Técnicas de reducción de varianza

01 · Punto de partida

Menos ruido sin más N

Subir N cuesta lineal y baja 1/√N. Las técnicas de reducción atacan σ directamente: con la mitad de σ necesitás la cuarta parte de N. Cuatro ideas cubren casi todo.

Todas son insesgadas si se aplican bien: cambian la varianza, no el valor.

• ¿Mi f es monótona, suave, con parte conocida?
• ¿Puedo parear, corregir, estratificar o reponderar?
• ¿Cuánto cae σ en la práctica?
• ¿El atajo cuesta más de lo que ahorra?

02 · Definición

El mapa en cuatro

Más Importance Sampling (24) para colas: el cuarteto completo se compara en el tema 29.

03 · Cómo elegir

1. 1
   Diagnosticar σ.

   ¿De dónde viene el ruido: monotonía, parte conocida, huecos o cola?

2. 2
   Probar el atajo.

   Implementar en 10 líneas sobre el mismo piloto y comparar s.

3. 3
   Medir el factor.

   Factor = (s_crudo/s_nuevo)² = N ahorrado. Si es < 1,5, no complicar.

Factor de ahorro

N_crudo/N_nuevo para igual error. 4× = мышца: de 20 000 a 5 000.

Costo por réplica

Si el atajo duplica el costo por muestra, el factor debe superar 2 para valer.

Combinables

Antitéticas + estratificado o control + IS se suman. Probar de a una y luego combinar.

04 · Ejemplos

Un caso por técnica

1. 1
   e^x en [0,1].

   Monótona: antitéticas recortan ~3×.

2. 2
   x² con control x.

   E[x] = 1/2 conocida y correlacionada: control recorta ~4×.

3. 3
   Pico en 0,9.

   Estratificar 10 franjas evita huecos en el pico.

05 · Representación en Python

Crudo vs antitético en 10 líneas

import random
import math
import statistics

def f(x):
    return math.exp(x)

N = 5000
crudo = [f(random.random()) for _ in range(2*N)]
anti = [(f(random.random()) + f(1 - random.random())) / 2 for _ in range(N)]
# ojo: parear bien usa el mismo U:
anti = []
for _ in range(N):
    u = random.random()
    anti.append((f(u) + f(1-u)) / 2)

print("crudo s:", round(statistics.pstdev(crudo), 4))
print("anti s:", round(statistics.pstdev(anti), 4))

06 · Exploración

Laboratorio: parear achica el ±

Integramos e^x en [0,1] (exacta e−1 ≈ 1,718). Gris: crudo con 2N puntos. Verde: antitético con N pares. Igual costo, distinto ±.

Barras con bigotes ±2·SE y línea de la exacta. La verde es más corta: mismo costo, más precisión.

Preguntas para explorar

1. ¿El factor ronda 2–4? ¿Cambia con N?
2. ¿Por qué el par debe usar el mismo U?
3. ¿Qué técnica probarías si f tuviera un pico agudo?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: medir el factor

Calculá (s_crudo/s_anti)² para e^x con N = 3 000.

import random
import math
import statistics

def f(x):
    return math.exp(x)

N = 3000
crudo = [f(random.random()) for _ in range(2*N)]
anti = []
for _ in range(N):
    u = random.random()
    anti.append((f(u) + f(1-u)) / 2)
print("factor:", round((statistics.pstdev(crudo)/statistics.pstdev(anti))**2, 2))

Ejercicio 2: romper el pareo

Probá antitéticas con U distintos y mirá el factor.

import random
import math
import statistics

N = 3000
mal = [(math.exp(random.random()) + math.exp(1-random.random()))/2 for _ in range(N)]
# 1-u con OTRO random: en realidad es otro U, da igual que crudo
print(round(statistics.pstdev(mal), 4))

Ejercicio 3: elegir técnica

Para P(Z > 3), ¿antitéticas o IS? Justificá en una línea cada una.

print("Antitéticas: no, la cola no es monótona útil con 0 casos.")
print("IS N(3,1): sí, muestrea la cola y pondera.")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema empezamos con las variables antitéticas.