Variables antitéticas

01 · Punto de partida

Compensar en vez de acumular ruido

Si U = 0,9 da f alta, 1−U = 0,1 da f baja: el par promedia al centro. Con f monótona, los pares están negativamente correlacionados y su promedio varía menos que dos muestras independientes.

Cuesta lo mismo (2 evaluaciones) y el ± se achica gratis.

• ¿Mi f es monótona en el intervalo?
• ¿Pareo con el mismo U?
• ¿La correlación es negativa?
• ¿Cuánto cae s?

02 · Definición

El par que se compensa

03 · Algoritmo

1. 1
   Sortear U.

   Uno solo por par: u = random().

2. 2
   Evaluar el par.

   (f(u) + f(1-u)) / 2. Una réplica antitética.

3. 3
   Promediar pares.

   Media y s sobre pares, no sobre 2N sueltos.

Mismo U

Obligatorio: con U distintos no hay correlación y no hay ahorro.

s sobre pares

La varianza que importa es la de los pares, no la de f suelta.

Generalización

En normal: Z y −Z. En cualquier simétrica: x y su espejo.

04 · Ejemplos

1. 1
   e^x.

   Factor ~3: el clásico de manual.

2. 2
   Utilidad lineal.

   150 − costo con costo uniforme: compensación perfecta parcial.

3. 3
   Normal con Z/−Z.

   Par (g(Z), g(−Z)) para payoff simétricos.

05 · Representación en Python

El par bien hecho en 5 líneas

import random
import math
import statistics

def f(x):
    return math.exp(x)

N = 5000
pares = []
ys1, ys2 = [], []
for _ in range(N):
    u = random.random()
    a, b = f(u), f(1-u)
    pares.append((a+b)/2)
    ys1.append(a); ys2.append(b)

print("media:", round(sum(pares)/N, 4))
print("s pares:", round(statistics.pstdev(pares), 4))
print("s crudo:", round(statistics.pstdev(ys1), 4))

06 · Exploración

Laboratorio: pares que se abrazan en diagonal

Cada punto es un par (f(U), f(1−U)) para e^x. La nube baja de izquierda a derecha: correlación negativa. A la derecha, el factor de ahorro.

Si la nube subiera (correlación positiva), el par amplificaría el ruido. Aquí baja: ahorra.

Preguntas para explorar

1. ¿La correlación ronda −0,9? ¿El factor ~3?
2. ¿Qué pasaría con f = sin en [0,π]?
3. ¿Por qué graficar el par diagnostica antes de integrar?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: correlación del par

Calculá la correlación entre f(U) y f(1−U) para e^x.

import random
import math
import statistics

N = 5000
a = []
b = []
for _ in range(N):
    u = random.random()
    a.append(math.exp(u)); b.append(math.exp(1-u))
ma, mb = sum(a)/N, sum(b)/N
cov = sum((x-ma)*(y-mb) for x, y in zip(a, b)) / N
print(round(cov / (statistics.pstdev(a)*statistics.pstdev(b)), 3))

Ejercicio 2: factor para x²

Medí el factor para x² en [0,1].

import random
import statistics

N = 5000
crudo = [random.random()**2 for _ in range(2*N)]
pares = []
for _ in range(N):
    u = random.random()
    pares.append((u**2 + (1-u)**2)/2)
print(round((statistics.pstdev(crudo)/statistics.pstdev(pares))**2, 2))

Ejercicio 3: dónde no usar

Probá con sin en [0,π] y mostrá que no ahorra.

import random
import math
import statistics

N = 5000
crudo = [math.sin(random.uniform(0, math.pi)) for _ in range(2*N)]
pares = []
for _ in range(N):
    u = random.uniform(0, math.pi)
    v = math.pi - u  # espejo
    pares.append((math.sin(u) + math.sin(v)) / 2)
print(round((statistics.pstdev(crudo)/statistics.pstdev(pares))**2, 2))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema corregiremos con lo conocido: las variables de control.