Variables de control

01 · Punto de partida

Si ya sabés una parte, no la simules

Para ∫₀¹ e^x, la recta x ya explica casi todo (correlación ~0,97). La idea: estimar Y − b·(C − E[C]) en vez de Y. La parte conocida se resta analítica y solo el residuo tiembla.

Con ρ = 0,97 el factor es 1/(1−ρ²) ≈ 17×: de 17 000 a 1 000 réplicas.

• ¿Qué C correlacionada tiene media conocida?
• ¿Cuánto vale ρ?
• ¿Qué b óptimo uso?
• ¿Cuánto cae la varianza?

02 · Definición

Corregir con correlación

03 · Algoritmo

1. 1
   Piloto conjunto.

   Simular (Y, C) juntas con los mismos U y estimar Cov y Var(C).

2. 2
   Calcular b*.

   b* = Cov/Var(C). Guardarlo: es parte del estimador.

3. 3
   Promediar Y*.

   Media de Y − b*·(C − E[C]) con su s. Insesgado si E[C] es exacta.

Mismos U

Y y C deben salir del mismo sorteo: si no, ρ = 0 y no hay corrección.

E[C] exacta

Si la media del control es aproximada, se mete sesgo. Solo controles exactos.

Múltiples

Se combinan con regresión múltiple. De a uno y midiendo.

04 · Ejemplos

1. 1
   e^x con x.

   E[x] = 1/2, ρ ≈ 0,97 ⇒ ~17×. El ejemplo del laboratorio.

2. 2
   x² con x.

   ρ ≈ 0,97 también: la recta explica la parábola.

3. 3
   Inventario con demanda.

   Control = demanda (media conocida): corrige la ganancia que la sigue.

05 · Representación en Python

Corregir e^x con x en 10 líneas

import random
import math
import statistics

N = 8000
ys, cs = [], []
for _ in range(N):
    u = random.random()
    ys.append(math.exp(u))
    cs.append(u)

mc = sum(cs) / N
vc = statistics.pvariance(cs)
cov = sum((y-sum(ys)/N)*(c-mc) for y, c in zip(ys, cs)) / N
b = cov / vc
aj = [y - b*(c-0.5) for y, c in zip(ys, cs)]
print("b*:", round(b, 3))
print("s crudo:", round(statistics.pstdev(ys), 4))
print("s control:", round(statistics.pstdev(aj), 4))

06 · Exploración

Laboratorio: la recta explica la curva

Cada punto es (x, e^x). La recta amarilla es la regresión (pendiente b*): lo que está sobre la recta es residuo. A más alineados, más ahorro.

Nube fina = ρ alto = residuo chico. Si la nube fuera gorda, el control no explica y no ahorra.

Preguntas para explorar

1. ¿ρ ronda 0,97 y el factor 15–20?
2. ¿Por qué Y y C deben salir del mismo U?
3. ¿Qué control usarías para x²?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: ρ de e^x con x

Calculá ρ y el factor teórico.

import random
import math
import statistics

N = 8000
ys = []
cs = []
for _ in range(N):
    u = random.random()
    ys.append(math.exp(u)); cs.append(u)
my, mc = sum(ys)/N, sum(cs)/N
cov = sum((y-my)*(c-mc) for y, c in zip(ys, cs))/N
rho = cov/(statistics.pstdev(ys)*statistics.pstdev(cs))
print(round(rho, 3), round(1/(1-rho**2), 1))

Ejercicio 2: estimar con control

Estimá ∫₀¹ e^x con y sin control y compará SE.

import random
import math
import statistics

N = 5000
ys, cs = [], []
for _ in range(N):
    u = random.random()
    ys.append(math.exp(u)); cs.append(u)
b = sum((y-sum(ys)/N)*(c-sum(cs)/N) for y, c in zip(ys, cs))/sum((c-sum(cs)/N)**2 for c in cs)
aj = [y-b*(c-0.5) for y, c in zip(ys, cs)]
print("crudo:", round(statistics.pstdev(ys)/math.sqrt(N), 4))
print("control:", round(statistics.pstdev(aj)/math.sqrt(N), 4))

Ejercicio 3: mal control

Usá como control un U independiente y mostrá que no ahorra.

import random
import math
import statistics

N = 5000
ys = [math.exp(random.random()) for _ in range(N)]
cs = [random.random() for _ in range(N)]  # otro U: rho = 0
my, mc = sum(ys)/N, sum(cs)/N
cov = sum((y-my)*(c-mc) for y, c in zip(ys, cs))/N
print("cov ~", round(cov, 4), "(debería ~0)")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema partiremos el dominio: el muestreo estratificado.