Sistemas dinámicos

01 · Punto de partida

La regla se suelta y camina sola

Un sistema dinámico es una regla dx/dt = f(x) más la pregunta global: ¿a dónde va cualquier arranque? No una curva, sino el mapa completo: equilibrios, flechas y destinos. El logístico, el tanque y el SIR ya eran sistemas dinámicos sin carnet.

Este tema pone el marco: fase, órbitas, fijos y estabilidad, antes de estudiar equilibrio (25), estabilidad (26) y largo plazo (27).

• ¿Dónde se anula f (fijos)?
• ¿Hacia dónde apuntan las flechas a cada lado?
• ¿Qué arranques terminan en cada destino?
• ¿La regla es 1D (recta) o 2D (plano)?

02 · Definición

¿Qué es un sistema dinámico?

Tres piezas inseparables:

El retrato de fases dibuja fijos y flechas sin integrar: las órbitas solo confirman lo que las flechas anuncian.

03 · Anatomía

Fijos, flechas y cuencas

El vocabulario global:

Punto fijo

f(x*) = 0: la regla se anula. Candidato a destino o a frontera.

Órbita

La curva x(t; x₀) completa: el viaje de un arranque siguiendo flechas.

Cuenca

Los arranques que terminan en el mismo destino: en el logístico, toda la recta a K.

Retrato 1D / 2D

En 1D: recta con flechas. En 2D: plano con vectores (el resorte espirala).

04 · Dinámicos del curso

El mismo marco, cinco retratos

Cada modelo es un retrato con su regla:

1. 1
   Tanque.

   Un fijo atractor: todas las flechas apuntan a q/k.

2. 2
   Logístico.

   Repulsor en 0, atractor en K: el retrato en S.

3. 3
   Exponencial.

   Fijo en 0 que repele (r > 0): todo se escapa.

4. 4
   Resorte.

   Foco atractor en (0, 0): espirales del plano.

5. 5
   SIR.

   Línea de fijos I = 0: cada brote aterriza en su punto.

05 · Representación en Python

Fijos con álgebra, flechas con signos

En Python, el retrato 1D se extrae sin integrar: fijos resolviendo f = 0 y flechas evaluando el signo a cada lado.

def f_logistica(p, r=0.5, k=100.0):
    return r * p * (1 - p / k)


def flecha(p, r=0.5, k=100.0):
    v = f_logistica(p, r, k)
    return "→" if v > 0 else "←" if v < 0 else "•"


for p in [0, 10, 50, 100, 150]:
    print(p, flecha(p))

• → → • ←: fijos en 0 y 100, flechas hacia K desde ambos lados.

Órbitas desde varios arranques

Las órbitas confirman el retrato con la exacta:

import math


def orbita(p0, t_final=20.0, r=0.5, k=100.0):
    a = (k - p0) / p0
    return k / (1 + a * math.exp(-r * t_final))


for p0 in [5, 50, 150]:
    print(p0, "→", round(orbita(p0), 1))

06 · Exploración

Laboratorio: retrato y órbitas del logístico

Izquierda: órbitas P(t) desde P₀ = 5, 50 y 150 con tu r y tu K. Derecha: recta de fase f(P) con fijos (•) y flechas (→ ←): el retrato que las anticipa. Tocá K y mirá cómo se mudan fijos, flechas y destinos juntos.

La parábola f(P) cruza en 0 y K: positiva entre ellos (→), negativa después (←). Las órbitas obedecen esas flechas.

Preguntas para explorar

1. Con P₀ = 150, ¿la órbita sube o baja? ¿Qué flecha la manda?
2. Duplicá K con el mismo r. ¿Las flechas cambian de signo en otro lado?
3. Si r fuera negativa, ¿hacia dónde apuntarían las flechas entre 0 y K?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: fijos del tanque

Con q = 3 y k = 0,2, hallá el fijo de dN/dt = q − k·N y las flechas en N = 5 y N = 25.

def flecha(n, q=3.0, k=0.2):
    v = q - k * n
    return "→" if v > 0 else "←" if v < 0 else "•"


print("fijo:", 3 / 0.2)
print(5, flecha(5), "· 25:", flecha(25))

Ejercicio 2: retrato logístico

Listá fijos y flechas del logístico r = 0,5, K = 100 en P = 0, 10, 50, 100, 150.

def flecha(p, r=0.5, k=100.0):
    v = r * p * (1 - p / k)
    return "→" if v > 0 else "←" if v < 0 else "•"


for p in [0, 10, 50, 100, 150]:
    print(p, flecha(p))

Ejercicio 3: cuenca de K

Simulá tres órbitas (P₀ = 5, 50, 150) hasta T = 20 y medí la separación final. ¿Hay una sola cuenca?

import math


def final(p0, r=0.5, k=100.0, t=20.0):
    return k / (1 + (k - p0) / p0 * math.exp(-r * t))


fines = [final(p0) for p0 in [5, 50, 150]]
print([round(v, 2) for v in fines], "→ Δ", round(max(fines) - min(fines), 2))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema cazaremos los puntos de equilibrio: dónde el sistema se detiene.