Largo plazo

01 · Punto de partida

Correr el reloj hasta el final

El tanque termina en q/k, la colonia en K, la taza en T_amb, el SIR en (S*, 0), el resorte en reposo. Cada uno con su transitorio distinto, pero todos con la misma pregunta final: ¿qué queda cuando t → ∞? Esa es la mirada de largo plazo: atractores, tendencias y tiempos de llegada.

El largo plazo ordena decisiones: pasturas, pesquerías, endemias y climas se juegan en el régimen, no en el arranque.

• ¿Converge, diverge, oscila o cicla?
• ¿A qué atractor y desde qué cuenca?
• ¿En cuánto llega al 50 %, 90 %, 99 %?
• ¿El horizonte T ya muestra el régimen?

02 · Definición

¿Qué es el comportamiento a largo plazo?

El destino cuando el transitorio muere:

El atractor es el destino que atrapa su cuenca: en el logístico, K atrapa todo P₀ > 0.

03 · Anatomía

Atractor, cuenca y tiempos

El largo plazo se describe en tres líneas:

Atractor

El destino que atrapa: punto, ciclo o línea (SIR: cada brote elige su S*).

Cuenca

Los arranques que van ahí: global (logístico en P > 0) o partida (varios atractores).

Tiempos 50/90/99

Cuándo cruza cada fracción del camino: el 90 % tarda el doble que el 50 % (logístico).

Horizonte suficiente

T debe cubrir el régimen: 3 vidas medias para el 95 %, más con freno lento.

04 · Finales del curso

El destino de cada modelo

Cada historia termina en su atractor:

1. 1
   Tanque.

   Punto q/k global: el agua se asienta.

2. 2
   Logístico.

   Punto K global en P > 0: la S aterriza.

3. 3
   SIR.

   Línea I = 0: cada brote elige su (S*, 0) según R₀.

4. 4
   Resorte.

   Punto (0, 0) en espiral: el vaivén muere.

5. 5
   Exponencial.

   Infinito: el modelo pide techo a gritos.

05 · Representación en Python

Tiempos al 50, 90 y 99 %

En Python, el largo plazo son tiempos de cruce despejados de la exacta: sin simular hasta el infinito.

import math


def tiempo_fraccion(fraccion, p0=10.0, r=0.5, k=100.0):
    a = (k - p0) / p0
    objetivo = fraccion * k
    return math.log(a / (k / objetivo - 1)) / r


for f in [0.5, 0.9, 0.99]:
    print(int(f * 100), round(tiempo_fraccion(f), 2))

50 % en 4,39 · 90 % en 8,79 · 99 % en 13,6: la segunda mitad tarda tanto como la primera.

Regla 3/|f'| para el 95 %

En convergencia lineal, tres vidas medias bastan:

import math


def t95(k):
    return round(3 / k, 2)


print(t95(0.2), t95(0.5))

06 · Exploración

Laboratorio: la S hasta el final

Logístico con tu r y tu K hasta T = 30. Las líneas marcan 50 %, 90 % y 99 % de K con sus tiempos de cruce: la segunda mitad de la S tarda tanto como la primera. Alargá el horizonte mental y observá que después del 99 % ya no pasa nada.

Después de t99 la curva es horizontal: simular más allá repite el techo y gasta cómputo. El régimen ya habló.

Preguntas para explorar

1. Con T = 10, ¿se ve el régimen o solo el transitorio? ¿Qué marca falta?
2. Duplicá r con el mismo K. ¿Los tres tiempos se duplican o se parten?
3. Si K = 200, ¿los tiempos 50/90/99 cambian o solo la altura?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: tres actos de la S

Con P₀ = 10, r = 0,5 y K = 100, calculá t50, t90 y t99. ¿La segunda mitad tarda lo mismo?

import math


def t_frac(f, p0=10.0, r=0.5, k=100.0):
    return math.log((k - p0) / p0 / (k / (f * k) - 1)) / r


for f in [0.5, 0.9, 0.99]:
    print(int(f * 100), round(t_frac(f), 2))

Ejercicio 2: horizonte honesto

Con k = 0,1 (tanque), ¿qué T cubre el 95 %? ¿Y con k = 0,02?

print(round(3 / 0.1, 1), round(3 / 0.02, 1))

Ejercicio 3: clasificar finales

Clasificá cada modelo en punto, infinito, ciclo o espiral: tanque, exponencial, resorte con c, SIR.

finales = {"tanque": "punto", "exponencial": "infinito", "resorte_c": "espiral", "SIR": "punto (S*, 0)"}
for m, f in finales.items():
    print(m, "→", f)

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema dejaremos la fórmula: resolución numérica cuando no hay exacta.