Orden superior

01 · Punto de partida

Cuando la velocidad no alcanza

Un resorte estirado no vuelve directo al reposo: pasa de largo, oscila y recién después se queda. La posición sola no explica el futuro: hay que conocer también la velocidad. Y la velocidad cambia según la aceleración: aparece la segunda derivada.

Las ecuaciones de orden superior modelan inercias: lo que se mueve tiende a seguir moviéndose y lo elástico tiende a devolver.

• ¿La regla habla de posición, de velocidad o de aceleración?
• ¿Qué dos datos iniciales necesito: dónde y con qué velocidad?
• ¿Oscila, se frena de golpe o ni se mueve?
• ¿Cómo la convierto en dos ecuaciones de primer orden?

02 · Definición

¿Qué es una EDO de orden superior?

El orden lo manda la derivada mayor. Tres ideas ordenan el tema:

La conversión es mecánica: se crea la variable v para la velocidad y la ecuación de orden 2 se parte en dos de orden 1. Desde ahí, Euler y Runge-Kutta sirven sin cambios.

03 · Anatomía

Resorte y amortiguador: el arquetipo

El modelo x'' = −k·x − c·v concentra todo el tema (masa m = 1):

Rigidez k

Fuerza elástica que devuelve al cero: más k, vaivén más rápido. Período ≈ 2π/√k.

Amortiguamiento c

Freno proporcional a la velocidad: disipa energía y apaga la oscilación.

Subamortiguado

c chico: oscila cruzando el cero varias veces antes de quedarse.

Sobreamortiguado

c grande: vuelve al cero sin cruzar, lento y sin fiesta.

04 · Orden superior en el curso

Dónde reaparece la inercia

Cada vez que algo «pasa de largo», hay un orden 2 escondido:

1. 1
   Resorte-masa.

   x'' = −k·x − c·v. Vaivén amortiguado hacia 0.

2. 2
   Péndulo chico.

   θ'' = −(g/L)·θ − c·θ'. Igual que el resorte con otros nombres.

3. 3
   Movimiento con fricción.

   dx/dt = v, dv/dt = a − c·v. La velocidad converge, la posición avanza.

4. 4
   Tanque con inercia.

   Caudal que tarda en responder: el nivel oscila antes de asentarse.

5. 5
   SIR con latencia.

   Expuestos E entre S e I: el pico se retrasa y se suaviza (Tema 20).

05 · Representación en Python

Partir la EDO en (x, v) e integrar

En Python, el estado es el par (x, v) y la dinámica devuelve el par (v, a). Euler semi-implícito (primero v, luego x) es estable y simple para empezar.

def aceleracion(x, v, k=2.0, c=0.3):
    return -k * x - c * v


def paso(x, v, dt, k=2.0, c=0.3):
    a = aceleracion(x, v, k, c)
    v_nueva = v + a * dt
    x_nueva = x + v_nueva * dt
    return x_nueva, v_nueva


x, v = 3.0, 0.0
for _ in range(5):
    x, v = paso(x, v, dt=0.1)
    print(round(x, 3), round(v, 3))

La posición cae y la velocidad se hace negativa: el resorte ya tira de vuelta.

Simular la historia completa

El mismo paso en un bucle hasta T dibuja el vaivén amortiguado:

def simular(x0, v0, k, c, t_final, dt=0.05):
    x, v, t = x0, v0, 0.0
    historia = [(t, x)]
    while t < t_final - 1e-9:
        a = -k * x - c * v
        v = v + a * dt
        x = x + v * dt
        t += dt
        historia.append((round(t, 2), round(x, 3)))
    return historia


hist = simular(3, 0, 2.0, 0.3, 2.0)
print(hist[0], "…", hist[-1])

06 · Exploración

Laboratorio: del vaivén al reposo

Resorte x'' = −k·x − c·v desde x₀ = 3, v₀ = 0. La dorada es la posición; la teal, la velocidad (escala propia). Subí c y observá cómo muere la oscilación; subí k y observá cómo se acelera el vaivén.

La velocidad adelanta a la posición en un cuarto de ciclo: cuando x cruza el cero, v es máxima; cuando x toca un extremo, v se anula.

Preguntas para explorar

1. Con c = 0, ¿cuántos cruces hay en T = 20? ¿La amplitud decae?
2. Con c = 1,5, ¿llega a cruzar el cero? ¿Qué régimen es?
3. Duplicá k con el mismo c. ¿El vaivén es más rápido o más lento?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: partir en sistema

Escribí la conversión de x'' = −4·x − 0,5·v a dos EDOs de orden 1 y evaluá las derivadas en x = 1, v = 2.

def sistema(x, v, k=4, c=0.5):
    dx_dt = v
    dv_dt = -k * x - c * v
    return dx_dt, dv_dt


print(sistema(1, 2))

Ejercicio 2: período aproximado

Sin simular: si k = 4, ¿cuál es el período natural 2π/√k? ¿Cuántas oscilaciones caben en T = 20?

import math


def periodo(k):
    return 2 * math.pi / math.sqrt(k)


print(round(periodo(4), 2), "→", round(20 / periodo(4), 1), "ciclos")

Ejercicio 3: contar cruces

Simulá con el paso semi-implícito y contá cuántas veces x cruza el cero. Probalo con k = 2, c = 0,3, x₀ = 3.

def cruces(x0, k, c, t_final, dt=0.02):
    x, v, t, n = x0, 0.0, 0.0, 0
    previo = x
    while t < t_final - 1e-9:
        a = -k * x - c * v
        v = v + a * dt
        x = x + v * dt
        t += dt
        if previo == 0 or x * previo < 0:
            n += 1
        previo = x
    return n


print(cruces(3, 2.0, 0.3, 20))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema acoplaremos ecuaciones: sistemas de EDOs donde varios estados evolucionan juntos.