Funciones de distribución

01 · Punto de partida

Todo acumulado hasta x

La función de distribución responde la pregunta más común del simulador: «¿con qué probabilidad X no supera x?». Se escribe F(x) = P(X ≤ x) y acumula desde −∞ hasta x: arranca en 0, termina en 1 y nunca baja.

Con F se contesta todo: P(X mayor a x) = 1 − F(x), P(a menor a X menor a b) = F(b) − F(a), y la mediana es el x donde F vale 0,5. En discretas es escalera; en continuas, rampa suave.

• ¿Qué fracción de casos queda por debajo de x?
• ¿Qué x deja debajo al 90 % (cuantil 0,9)?
• ¿Cómo calculo un intervalo restando dos F?
• ¿Cómo estimo F con mis réplicas ordenadas?

02 · Definición

Propiedades y dos formas

03 · Cuantiles: leer F al revés

Del porcentaje al valor

Mediana

x donde F = 0,5. En U(6,14) es 10. Robusta frente a valores extremos.

Cuantil q

x donde F = q. q₀,₉ para promesas, q₀,₉₅ para garantías.

Intervalo

P(a menor a X ≤ b) = F(b) − F(a). Toda ventana es una resta.

Empírica

Con datos ordenados: F̂(x) = #{Xᵢ ≤ x} / n. Escalera que estima la rampa (tema 30).

04 · Ejemplos

F que decide

1. 1
   Entrega.

   Viaje U(20,50): F(30) = 1/3. Solo 33 % llega antes de 30 min.

2. 2
   Promesa.

   Cuantil 0,9 = 47 min. Prometer 47 cumple 90 %.

3. 3
   Stock.

   Demanda U(6,14): P(X mayor a 12) = 1 − F(12) = 0,25. Una de cada 4 días exige más de 12.

4. 4
   Dados.

   Suma: F(8) = 26/36 ≈ 0,72. El 72 % suma 8 o menos.

5. 5
   Espera.

   F(10) = P(espera ≤ 10). El SLA se escribe como F, no como promedio.

05 · Representación en Python

Teórica y empírica

# F teórica de U(6,14)
def F(x):
    if x < 6: return 0.0
    if x > 14: return 1.0
    return (x - 6) / 8

print("F(10):", F(10))
print("P(8<X<=12):", round(F(12) - F(8), 3))
print("cuantil 0.9:", 6 + 0.9*8)

Consejo: el cuantil invierte la recta: x = 6 + q·8.

Empírica con datos ordenados

import random
random.seed(41)

xs = sorted(random.uniform(6, 14) for _ in range(2000))
def F_emp(x):
    return sum(1 for v in xs if v <= x) / len(xs)

print("F_emp(10):", round(F_emp(10), 3), "| teórica: 0.5")
print("mediana emp:", round(xs[len(xs)//2], 2))

06 · Exploración

Laboratorio: F de U(6, 14), recta vs escaleras

La línea blanca es F exacta (0 hasta 6, rampa a 1 en 14). Las escaleras de colores son F empíricas de 3 réplicas con N valores. La línea lima marca el umbral T: su altura es P(X ≤ T).

Eje x de 5 a 15, eje y de 0 a 1. Con pocos datos las escaleras saltan; con muchos calcan la rampa.

Preguntas para explorar

1. Con N = 30, ¿cuánto se separan las escaleras de la recta? ¿Y con N = 2000?
2. Fijá T = 12. ¿Qué valor marca la altura? ¿Qué significa 1 − ese valor?
3. ¿Dónde estimarías la mediana mirando el gráfico?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: intervalos por resta

Para U(6,14), calculá P(9 menor a X ≤ 12) como F(12) − F(9) y verificala simulando.

import random
random.seed(51)
N = 6000
xs = [random.uniform(6, 14) for _ in range(N)]
print("teo:", (12-6)/8 - (9-6)/8)
print("sim:", round(sum(1 for x in xs if 9 < x <= 12)/N, 3))

Ejercicio 2: cuantil 0,95

¿Qué x deja 95 % debajo en U(6,14)? Verificalo contando.

import random
random.seed(4)
x95 = 6 + 0.95*8
xs = [random.uniform(6, 14) for _ in range(8000)]
print("x95:", x95, "| F_emp:", round(sum(1 for x in xs if x <= x95)/len(xs), 3))

Ejercicio 3: mediana empírica

Estimá la mediana de U(6,14) con n = 40 y n = 4000. ¿Cuál se acerca más a 10?

import random
for n, s in [(40, 1), (4000, 1)]:
    random.seed(s)
    xs = sorted(random.uniform(6, 14) for _ in range(n))
    print(n, round(xs[n//2], 2))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema derivaremos la mirada: funciones de densidad f(x).