Probabilidad y Estadística · Tema 12

Funciones de densidad

Cómo se reparte la probabilidad: qué es f(x), por qué el área manda, qué formas aparecen y cómo estimarla con histogramas.

01 · Punto de partida

La forma del azar continuo

Si F(x) acumula, f(x) reparte: dice dónde se concentra la probabilidad por unidad. Más alta la curva, más casos por intervalo. La probabilidad de una ventana es el área bajo f entre sus bordes.

Dos densidades con igual media pueden implicar decisiones opuestas: una plana (todo parejo) y una campana (casi todo al centro) dan riesgos distintos. Leer la forma —picos, colas, simetría— es leer el riesgo.

  • ¿Dónde se concentra la masa: centro, bordes, un pico?
  • ¿Las colas son cortas o largas?
  • ¿Qué área queda fuera del límite que me importa?
  • ¿El histograma de mis datos qué forma sugiere?

02 · Definición

Reglas y vínculo con F

≥0 ∫=1

Reglas

f(x) nunca negativa y su área total vale 1. Curva que no cierra a 1 no es densidad válida.

F′=f

Pendiente de F

Donde f es alta, F sube rápido. La moda (pico de f) es donde F crece más veloz.

◍

Moda y colas

Moda = valor más denso. Colas = probabilidad lejos del centro. Colas largas = sorpresas caras.

Tres densidades que usarás en simulación.
DensidadFormaCuándo aparece
Uniforme U(6,14)Plana 1/8Solo sé el rango
Normal N(10, 2)Campana simétricaErrores y medidas con centro
ExponencialDecae desde 0Tiempos de espera (tema 22)

03 · Leer formas

Plana frente a campana

U(6, 14)

Todo parejo

Cualquier subintervalo de igual ancho pesa igual. Sin moda marcada: máxima incertidumbre dentro del rango.

N(10, 2)

Centro que atrae

Pico en 10, colas simétricas. P(9 menor a X menor a 11) ≈ 0,38: el centro concentra, los extremos son raros.

Simetría
Campana espejada: media = mediana = moda. Asimetría avisa sesgo o límite físico (no negatividad).
Dispersión
Ancho de la curva: a igual área, más ancha = más riesgo de extremos (tema 14).
Moda
Pico de f: el valor más denso. No confundir con media: en asimétricas difieren.
Histograma
Barras normalizadas (área 1) que estiman f con datos. Más datos, más fiel (tema 29).

04 · Ejemplos

Densidades en tus modelos

Histograma→Forma f→Área = riesgo
  1. 1
    Sorteo.

    U(0, 1): base del muestreo (tema 39). Plana por construcción.

  2. 2
    Medida.

    N(μ, σ): errores que se concentran. Colas cortas y simétricas.

  3. 3
    Espera.

    Exponencial: mucha espera corta, pocas larguísimas. Cola derecha larga.

  4. 4
    Demanda acotada.

    U(6, 14) cuando solo hay mínimo y máximo confiables.

  5. 5
    Mixta real.

    Datos con dos picos (mañana/tarde): una sola campana no alcanza, se mezcla (tema 34).

05 · Representación en Python

Densidad teórica e histograma normalizado

Python en tu navegador. Cambiá μ y σ y mirá cómo se ensancha la campana.

import math, random
random.seed(61)

# f normal N(10,2) en x=10 (pico) vs uniforme 1/8
def f_norm(x, mu=10, sigma=2):
    return math.exp(-0.5*((x-mu)/sigma)**2) / (sigma*math.sqrt(2*math.pi))

print("f_norm(10):", round(f_norm(10), 4))
print("f_unif:", 1/8)
xs = [random.gauss(10, 2) for _ in range(5000)]
print("P(9

Consejo: f(10) ≈ 0,2 supera 1/8 = 0,125: la campana concentra más que la plana, pero ambas encierran área 1.

Histograma que estima f

import random
random.seed(7)

xs = [random.uniform(6, 14) for _ in range(4000)]
# 8 tramos de ancho 1: densidad = frec / ancho
for a in range(6, 14):
    d = sum(1 for x in xs if a <= x < a+1) / (len(xs) * 1)
    print(a, round(d, 3))

06 · Exploración

Laboratorio: plana vs campana

Elegí la densidad que genera los datos: uniforme U(6,14) o normal N(10,2). Las barras son el histograma normalizado (área 1); la curva blanca es f exacta. La franja lima marca la ventana 9 a 11: su área es la probabilidad central.

EXPERIMENTO 12

f(x) y su histograma

área 9–11: U = 0,25 · N ≈ 0,38

Los resultados numéricos aparecen debajo.
Media sim0,00
P̂(9 menor a X menor a 11)0,000
P exacta ventana0,000
Máx |hist−f|0,000

Con N grande, las barras calcan la curva.

Eje x de 4 a 16 en 12 tramos de ancho 1. La campana concentra el centro; la plana reparte parejo.

Preguntas para explorar

  1. Con N = 100, ¿qué densidad se reconoce peor? ¿Por qué la campana necesita más datos en colas?
  2. ¿Qué ventana 9–11 pesa más: uniforme o normal? ¿Qué implica para prometer?
  3. Si los datos tuvieran dos picos, ¿alguna de estas dos f serviría? ¿Qué harías?
Ver respuestas sugeridas
  1. La normal: las colas tienen pocos casos y saltan. El centro se dibuja rápido, los extremos piden N.
  2. La normal (~0,38 vs 0,25): concentra. Prometer la ventana central es más seguro con campana que con plana.
  3. No: haría falta mezcla de dos densidades o una empírica (temas 30 y 34). Forzar una campana escondería el segundo pico.

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

«f(x) es una probabilidad»

No: es densidad. Solo el área es probabilidad. f puede superar 1 sin romper nada.

«Más alta siempre significa más probable»

Solo a igual ancho. Un pico angosto y alto puede pesar menos que una meseta ancha y baja.

«El histograma en conteos ya es f»

Hay que dividir por (N × ancho). Sin eso, cambiar bins cambia la historia.

«Toda continua es campana»

La forma la manda el fenómeno: plana, asimétrica, colas largas. La campana es un caso, no la ley.

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: área central normal

Estimá P(9 menor a X menor a 11) para N(10,2) con 8000 valores y compará con ~0,383.

import random
random.seed(71)
xs = [random.gauss(10, 2) for _ in range(8000)]
print(round(sum(1 for x in xs if 9 < x < 11)/len(xs), 3))
Ver solución razonada

Cae cerca de 0,38: el centro de la campana concentra más que la uniforme (0,25). Misma ventana, distinta área.

Ejercicio 2: moda vs media

Para U(6,14), ¿moda? ¿Media? ¿Por qué coinciden en la plana pero no en una asimétrica?

# U(6,14): toda x tiene igual densidad → sin moda única; media 10
print("media:", (6+14)/2, "| f:", 1/8)
Ver solución

Media 10, sin pico: máxima indeterminación. En una exponencial la moda está en 0 y la media lejos: el pico no resume el riesgo.

Ejercicio 3: histograma bien normalizado

Con 5000 N(10,2), calculá la densidad del tramo [9,10) y compará con f(9,5) ≈ 0,19.

Ver una posible respuesta 
import random, math
random.seed(9)
xs = [random.gauss(10, 2) for _ in range(5000)]
d = sum(1 for x in xs if 9 <= x < 10) / (len(xs) * 1)
f = math.exp(-0.5*((9.5-10)/2)**2) / (2*math.sqrt(2*math.pi))
print("hist:", round(d, 3), "| f(9.5):", round(f, 3))

Ambas rondan 0,19: el histograma normalizado estima f. Sin dividir por ancho, el número no significa nada.

09 · Síntesis

Ideas para recordar

  • f(x) reparte: área = probabilidad, total = 1.
  • F sube donde f es alta; la moda es el pico.
  • La forma (plana, campana, colas) decide el riesgo.
  • El histograma normalizado estima f con datos.
  • En Python: función f(x) + random.gauss/uniform para muestrear.

En el próximo tema resumiremos con un número: valor esperado E[X].