Valor esperado

01 · Punto de partida

Lo que sale en promedio, no lo que sale hoy

El valor esperado E[X] es el promedio si repitieras infinitas veces: pondera cada valor por su probabilidad. Un juego puede pagar +20 a veces y −5 casi siempre; su esperado decide si conviene jugarlo a largo plazo, aunque hoy ganes o pierdas.

En simulación, E[X] es el blanco: el promedio muestral x̄ de tus réplicas lo estima (temas 15 y 41). Diseñar para el promedio sin mirar dispersión es la mitad del trabajo; la otra mitad es varianza (tema 14).

• ¿Cuánto da en promedio por repetición?
• ¿El juego/escenario es favorable (E mayor a 0), justo (= 0) o desfavorable?
• ¿Cómo paso de E[X] a E de costo, ganancia o espera?
• ¿Con cuántas réplicas x̄ ya se pega a E[X]?

02 · Definición

Cálculo y linealidad

03 · Juego y decisión

Favorable, justo o trampa

Justo

E = 0: ni gana ni pierde a largo plazo. Referencia para calibrar juegos y promociones.

Sesgo

E ≠ media muestral con N chico es normal: es ruido, no trampa. Con N grande deben pegarse.

Transformación

Lineal pasa directo; no lineal (X², 1/X) no: E[g(X)] ≠ g(E[X]). Se estima simulando.

Blanco

El simulador estima E con x̄. Si x̄ no se estabiliza, faltan réplicas (temas 15 y 41).

04 · Ejemplos

Esperados que deciden

1. 1
   Demanda.

   U(6,14): E = 10/día, 120 en 12 días. Base del stock.

2. 2
   Ventas.

   Bin(100, 0,12): E = 12 compras. Personal y caja se dimensionan ahí.

3. 3
   Espera.

   E[espera] = 4 min no dice la cola del 10 % que espera 15: completar con varianza.

4. 4
   Garantía.

   E[costo] = P(falla)·costo. Define precio con margen.

5. 5
   Juego.

   E = 0 calibra dificultad: entretiene sin regalar ni estafar.

05 · Representación en Python

Exacto vs promedio muestral

import random
random.seed(81)

# Juego: +20 con p=0.2, -5 si no. E = 25*0.2-5 = 0
p, N = 0.2, 6000
xs = [20 if random.random() < p else -5 for _ in range(N)]
print("promedio:", round(sum(xs)/len(xs), 3), "| teórico: 0")

Consejo: con N = 50 el promedio salta ±3; con 6000 se pega a 0.

Linealidad en código

import random
random.seed(9)

# X = suma dados (E=7). Y = 100X-200 → E[Y] = 500
N = 8000
ys = [100*(random.randint(1,6)+random.randint(1,6)) - 200 for _ in range(N)]
print("media Y:", round(sum(ys)/N, 1), "| exacta:", 100*7-200)

06 · Exploración

Laboratorio: el promedio persigue al esperado

Jugamos N veces: +20 con prob. p, −5 si no. La recta blanca es E = 25p − 5; las curvas son promedios acumulados de 3 réplicas. Mové p y mirá cuándo el juego pasa de trampa a favorable.

Cada curva es el promedio de lo ganado hasta n. Con pocas jugadas saltan; con muchas se pegan a E.

Preguntas para explorar

1. Con p = 0,1 y N = 50, ¿alguna réplica va ganando aunque E sea negativo? ¿Qué enseña?
2. Subí a N = 3000. ¿Las tres se pegan a E? ¿Cuánto error queda?
3. ¿Qué p hace E = 2? Verificalo moviendo el control.

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: E del dado cargado

Dado con P(6) = 0,3 y resto 0,14 cada uno. Calculá E exacto y verificalo con 8000 tiradas.

import random
p = {1:0.14, 2:0.14, 3:0.14, 4:0.14, 5:0.14, 6:0.3}
print("E:", round(sum(x*px for x, px in p.items()), 3))
random.seed(91)
xs = random.choices(list(p), weights=list(p.values()), k=8000)
print("x̄:", round(sum(xs)/len(xs), 3))

Ejercicio 2: de E a presupuesto

Demanda U(6,14), precio 100, costo fijo 500. ¿Ganancia esperada diaria? Verificala simulando Y = 100X − 500.

import random
random.seed(12)
ys = [100*random.uniform(6,14) - 500 for _ in range(6000)]
print("media:", round(sum(ys)/len(ys), 1), "| exacta:", 100*10-500)

Ejercicio 3: no lineal no pasa

Con X = suma de dados, compará E[X²] simulado con (E[X])² = 49. ¿Coinciden?

import random
random.seed(3)
N = 10000
xs = [random.randint(1,6)+random.randint(1,6) for _ in range(N)]
print("E[X²]:", round(sum(x*x for x in xs)/N, 2), "| (E[X])²: 49")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema mediremos lo que E no dice: varianza y desviación estándar.