Varianza y desviación estándar

01 · Punto de partida

Igual promedio, distinto riesgo

Dos juegos con E = 0 pueden ser opuestos: uno paga ±2 (susto chico), otro +20 o −5 con p = 0,2 (montaña rusa). La varianza mide ese ancho: promedio de los desvíos al cuadrado. Su raíz, la desviación estándar σ, vuelve a las unidades originales (pesos, minutos, unidades).

En simulación, σ decide stocks de seguridad, dotaciones y N: a más dispersión, más colchón y más réplicas para estimar con igual error (temas 41 y 42).

• ¿Cuánto se desvían típicamente los resultados de la media?
• ¿Qué fracción cae fuera de μ ± 2σ?
• ¿El escenario con mejor promedio compensa su mayor riesgo?
• ¿Cómo estimo σ con mis réplicas?

02 · Definición

Cálculo y propiedades

03 · Bandas sigma

Leer μ ± σ, μ ± 2σ

Unidades

σ habla en minutos, pesos, unidades: «demanda 10 ± 2,3» es dimensionable.

Coeficiente

σ/μ compara riesgos relativos entre productos de distinta escala.

Muestral

s² = Σ(xᵢ−x̄)²/(n−1) estima Var; s estima σ. Con n grande, el −1 no se nota.

N necesario

El error de x̄ es σ/√N: doble dispersión exige cuádruple N para igual precisión.

04 · Ejemplos

σ que dimensiona

1. 1
   Stock.

   Demanda 10 ± 2,3: stock 10 cubre ~50 %, 10 + 2σ ≈ 14,6 cubre ~97 %.

2. 2
   Personal.

   Atención 4 ± 1 min vs 4 ± 3: la segunda exige más holgura aunque el promedio coincida.

3. 3
   Promesa.

   Viaje 35 ± 10: prometer 35 falla la mitad; prometer μ + 2σ ≈ 55 cumple ~97 %.

4. 4
   Juego.

   A (±2) entretiene parejo; B (+20/−5) arruina o salva: mismo E, ruina distinta.

5. 5
   Réplicas.

   X con σ doble exige 4× N para el mismo error de x̄ (tema 42).

05 · Representación en Python

Varianza exacta y muestral

import random, statistics
random.seed(101)

# Juego B: +20 (p=0.2), -5. E=0, Var=100, sigma=10
xs = [20 if random.random() < 0.2 else -5 for _ in range(6000)]
print("media:", round(statistics.mean(xs), 3))
print("s:", round(statistics.stdev(xs), 3), "| sigma: 10")

Consejo: con N = 100, s salta; con 6000 se pega a 10.

Atajo E[X²] − μ²

# Suma de dados: E[X²]-E[X]² = 54.833-49 = 5.833
pares = [(a,b) for a in range(1,7) for b in range(1,7)]
xs = [a+b for a, b in pares]
mu = sum(xs)/len(xs)
print("Var:", round(sum(x*x for x in xs)/len(xs) - mu**2, 3))

06 · Exploración

Laboratorio: campana con σ ajustable

Generamos N(0, σ). Las barras son el histograma normalizado; la curva blanca, la densidad exacta. Las líneas marcan μ y μ ± σ, μ ± 2σ. Subí σ y mirá cómo se aplasta la curva y crecen las colas.

Eje x fijo −12 a 12 en 24 tramos. Las bandas lima (±σ) y naranja (±2σ) muestran dónde cae la masa.

Preguntas para explorar

1. Con σ = 1 y N = 3000, ¿qué fracción sale de ±2? ¿Y con σ = 5?
2. Con N = 200, ¿s se parece a σ? ¿Qué le pasa a la cola estimada?
3. Dos escenarios con media 0 y σ 1 vs 4: ¿cuál exige más colchón? ¿Cuánto más N para igual error?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: Var de U(6,14)

La exacta es (14−6)²/12 = 5,333. Verificala con 8000 uniformes.

import random, statistics
random.seed(121)
xs = [random.uniform(6, 14) for _ in range(8000)]
print("s²:", round(statistics.variance(xs), 3), "| exacta: 5.333")
print("s:", round(statistics.stdev(xs), 3))

Ejercicio 2: escala

Si X tiene σ = 2, ¿σ de Y = 3X + 5? Verificalo con N(10,2) transformada.

import random, statistics
random.seed(8)
xs = [random.gauss(10, 2) for _ in range(6000)]
ys = [3*x + 5 for x in xs]
print(round(statistics.stdev(ys), 2), "| teórico:", 3*2)

Ejercicio 3: colchón de stock

Demanda diaria N(10, 2). ¿Stock con ~97 % de cobertura? Verificá P(X ≤ 14) simulando.

import random
random.seed(15)
xs = [random.gauss(10, 2) for _ in range(10000)]
print("P(X<=14):", round(sum(1 for x in xs if x <= 14)/len(xs), 3))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema veremos por qué más datos estabilizan: Ley de los Grandes Números.