Desigualdad de Chebyshev

01 · Punto de partida

Garantía sin saber la forma

La regla 95 % de la campana no vale para una demanda asimétrica o una espera con cola larga. La desigualdad de Chebyshev sí vale siempre: con media μ y desvío σ finitos, P(|X−μ| ≥ kσ) ≤ 1/k². Con k = 2, al menos 75 % cae dentro de μ ± 2σ, sea cual sea la distribución.

Es conservadora (la realidad suele ser mejor), pero es una garantía: sirve para prometer, dimensionar y pedir N sin conocer f(x).

• ¿Qué puedo garantizar con solo μ y σ?
• ¿Qué k necesito para tal cumplimiento?
• ¿Cuándo la cota es útil y cuándo es demasiado floja?
• ¿Cómo la verifico contando colas simuladas?

02 · Definición

Dos escrituras, un uso

03 · Uso práctico

Cuándo pedir Chebyshev

Garantía

«Al menos 75 % en μ ± 2σ» vale para tu modelo aunque no sepas f. Se escribe en el contrato.

Diseño de N

Para x̄: P(|x̄−μ| ≥ ε) ≤ σ²/(nε²). Despejando n se pide réplicas con garantía (tema 41).

Requisito

Varianza finita. Sin σ no hay cota: colas extremas piden otro marco.

Conservadora

Siempre del lado seguro: el colchón sobra. Se ajusta cuando llegan datos.

04 · Ejemplos

Cotas que firman

1. 1
   Stock.

   Demanda μ = 10, σ = 2,3: P(|X−10| ≥ 4,6) ≤ 0,25. Al menos 75 % entre 5,4 y 14,6.

2. 2
   Espera.

   μ = 4, σ = 2: P(desviarse más de 4) ≤ 4/16 = 0,25. Garantía sin campana.

3. 3
   Promedio.

   x̄ con σ = 2, n = 100: P(|x̄−μ| ≥ 1) ≤ 4/100 = 0,04. Cota de estimación.

4. 4
   Juego.

   B (+20/−5, σ = 10): P(ganar más de 20 sobre E) ≤ 100/400 = 0,25.

5. 5
   SLA.

   «75 % en μ ± 2σ» como promesa inicial hasta calibrar la F real.

05 · Representación en Python

Cota vs conteo

import random
random.seed(161)

# U(6,14): mu=10, var=5.333. k=2 → cota 0.25
mu, var, k = 10, 8**2/12, 2
N = 8000
xs = [random.uniform(6, 14) for _ in range(N)]
frec = sum(1 for x in xs if abs(x-mu) >= k*(var**0.5)) / N
print("cota:", round(1/k**2, 3), "| frec:", round(frec, 3))

Consejo: la frec ronda 0 (la uniforme acotada casi no sale de ±2σ): la cota cumple holgada.

N con garantía para x̄

# P(|xb-mu|>=1) <= sigma²/(n*1²) <= 0.05 → n >= sigma²/0.05
sigma2 = 4  # N(10,2)
print("n >=", sigma2 / 0.05)

06 · Exploración

Laboratorio: la cota siempre está arriba

Elegí distribución y k: la barra clara es la cota 1/k² (vale para las tres); la sólida, la cola simulada P(|X−μ| ≥ kσ). Cambiá k y mirá cómo la real cae mucho más rápido que la cota.

Dos barras por experimento. Con k = 1 la cota es 1 (no informa); desde k = 1,5 empieza a garantizar.

Preguntas para explorar

1. Con k = 1, ¿qué dice la cota? ¿Para qué sirve?
2. Con k = 2 en normal, ¿cota vs real? ¿Y en dado?
3. ¿En qué distribución la cota está más ajustada? ¿Por qué ninguna la toca?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: verificar las tres

Con k = 2 y N = 6000, verificá cota vs cola en dado, U(6,14) y N(10,2).

import random, math
random.seed(161)
def cola(xs, mu, sigma, k=2):
    return sum(1 for x in xs if abs(x-mu) >= k*sigma)/len(xs)
dado = [random.randint(1,6) for _ in range(6000)]
print("dado:", round(cola(dado, 3.5, 1.7078), 4), "| cota: 0.25")

Ejercicio 2: N garantizado

Con σ² = 5,33, ¿N para P(|x̄−μ| ≥ 0,5) ≤ 0,1? Fórmula: n ≥ σ²/(0,1·0,25).

print("n >=", round(5.333/(0.1*0.25)))

Ejercicio 3: una cola

Si P(|X−μ| ≥ 4) ≤ 0,33, ¿qué podés decir de P(X−μ ≥ 4)? ¿Por qué es desperdicio?

# Una cola <= dos colas: P(X-mu>=4) <= P(|X-mu|>=4) <= 0.33
print("cota unilateral grosera: 0.33")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo bloque modelaremos el azar clásico: distribución uniforme.