Probabilidad y Estadística · Tema 18

Distribución de Bernoulli

Éxito o fracaso en un intento: el átomo 0/1 de toda simulación, de la conversión a la falla, y base de la binomial.

01 · Punto de partida

Todo sí/no es Bernoulli

Compra o no, falla o no, cara o ceca, convierte o no: un ensayo Bernoulli(p) vale 1 con probabilidad p y 0 con 1−p. Es la variable más simple y la más usada: cada cliente, pieza o jugada es un 0/1.

Su potencia está en la suma: n Bernoulli independientes forman una binomial (tema 19), y su promedio estima p (temas 15 y 32).

  • ¿Qué cuenta como «éxito» (1) exactamente?
  • ¿Cuánto vale p y de dónde sale (dato, supuesto, calibración)?
  • ¿Los intentos son independientes con igual p?
  • ¿Cómo genero miles de 0/1 en el simulador?

02 · Definición

Tabla mínima, consecuencias máximas

p

Parámetro único

Solo p ∈ [0,1]. P(1) = p, P(0) = 1−p. Todo el modelo cabe en un número.

E=p

Media = tasa

El esperado es la tasa de éxito. Promedio de 0/1 = frecuencia = P̂.

p(1−p)

Varianza pico en 0,5

Máxima en p = 0,5 (0,25), nula en 0 o 1. Lo incierto dispersa; lo seguro no.

Tres Bernoulli de referencia.
CasopEVar
Moneda0,50,50,25
Conversión 12 %0,120,120,106
Falla 2 %0,020,020,0196

03 · Dónde vive en tu modelo

El if aleatorio hecho distribución

Úsala

Un intento, dos salidas

Clic, compra, falla, acierto, pago. Si se resume en sí/no por unidad, es Bernoulli.

No la fuerces

Más de dos salidas o p variable

Si hay 3+ categorías o p cambia por cliente, es categórica o Bernoulli con p por segmento (ramas, tema 6).

Indicadora
X = 1 si ocurre A, 0 si no. E[X] = P(A): eventos hechos número (tema 8).
Suma
n independientes → Binomial(n,p). El puente al conteo (tema 19).
Muestreo
random.random() < p: la línea más escrita en simulación.
Calibración
p se estima con éxitos/n y se intervala (temas 32 y 33).

04 · Ejemplos

0/1 de todos los días

Intento→1 con p→Tasa = x̄
  1. 1
    Web.

    Visita compra con p = 0,12. 100 visitas → ~12 ventas.

  2. 2
    Calidad.

    Pieza falla con p = 0,02. Lote de 50 → ~1 falla.

  3. 3
    Soporte.

    Llamada resuelve al primer contacto con p = 0,7.

  4. 4
    Juego.

    Golpe crítico con p = 0,1. 10 golpes → ~1 crítico.

  5. 5
    Pagos.

    Factura se cobra a término con p = 0,85.

05 · Representación en Python

Una línea, miles de ensayos

Python en tu navegador. Cambiá p y N y mirá la tasa.

import random
random.seed(181)
p, N = 0.12, 5000
xs = [1 if random.random() < p else 0 for _ in range(N)]
print("tasa:", round(sum(xs)/N, 4), "| p:", p)

Consejo: la tasa con N = 50 salta ±0,05; con 5000 se pega a p.

Varianza muestral vs p(1−p)

import random, statistics
random.seed(9)
p = 0.3
xs = [1 if random.random() < p else 0 for _ in range(6000)]
print("s²:", round(statistics.variance(xs), 4), "| teo:", round(p*(1-p), 4))

06 · Exploración

Laboratorio: p manda, N estabiliza

Fijá p y generá N ensayos. Barras claras = tabla exacta (1−p, p); sólidas = frecuencias. Las curvas finas muestran la tasa acumulada de 3 réplicas hacia p.

EXPERIMENTO 18

X ~ Bernoulli(p)

P(1) = p · Var = p(1−p)

Los resultados numéricos aparecen debajo.
Tasa sim (teo p)0,000
Var sim (teo)0,000
Rango tasas0,000
N × p (éxitos esp.)0,0

Con N grande, las sólidas calcan las claras.

Izquierda: barras 0/1. Derecha: tasas acumuladas de 3 réplicas convergiendo a p.

Preguntas para explorar

  1. Con p = 0,5 y N = 50, ¿cuánto se separan las réplicas? ¿Y con N = 5000?
  2. Con p = 0,05, ¿la barra del 1 se estima bien con N = 100? ¿Qué N pedirías?
  3. ¿Dónde es máxima la varianza? Mové p y mirá el resultado.
Ver respuestas sugeridas
  1. Con 50 saltan ±0,1; con 5000 se pegan a ±0,01. Máxima varianza = máximo ruido.
  2. No: ~5 éxitos esperados, ruido relativo enorme. Para p chico, N de miles (tema 42).
  3. En p = 0,5: Var = 0,25. En 0 o 1 vale 0: certeza no dispersa.

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

«Bernoulli es lo mismo que binomial»

No: Bernoulli es un intento (0/1); binomial es la suma de n (0…n). Una es átomo, la otra molécula.

«p = 0,5 siempre»

Solo monedas justas. Conversiones (0,12) y fallas (0,02) viven lejos de 0,5 y con menos varianza.

«Promediar 0/1 no informa»

Informa p: es la tasa. Todo dashboard de conversión promedia Bernoulli sin decirlo.

«Independencia se asume»

Se verifica o se declara como supuesto con sensibilidad. Rachas y contagios la rompen.

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: tasa de conversión

Con p = 0,12 y 2000 visitas, estimá ventas y compará con 240 esperadas.

import random
random.seed(181)
N, p = 2000, 0.12
v = sum(1 for _ in range(N) if random.random() < p)
print(v, "| esperadas:", N*p)
Ver solución razonada

Ronda 240 ± 15. El ± sale de √(Np(1−p)) ≈ 14,5: la binomial ya asoma (tema 19).

Ejercicio 2: varianza máxima

Graficá mentalmente p(1−p) para p en 0, 0,25, 0,5, 0,75, 1. ¿Dónde pica?

for p in [0, 0.25, 0.5, 0.75, 1]:
    print(p, round(p*(1-p), 3))
Ver solución

0, 0,1875, 0,25, 0,1875, 0. Pico en 0,5: máxima incertidumbre, más N para igual precisión.

Ejercicio 3: de Bernoulli a decisión

Promoción cuesta 2 por visita y deja 20 por compra (p = 0,12). ¿Ganancia esperada por visita? Verificá simulando.

Ver una posible respuesta 
import random
random.seed(21)
p = 0.12
ys = [(20-2) if random.random() < p else -2 for _ in range(8000)]
print("E:", 20*p-2, "| sim:", round(sum(ys)/len(ys), 3))

E = 0,4 por visita: conviene. Linealidad sobre Bernoulli convierte tasas en plata (tema 13).

09 · Síntesis

Ideas para recordar

  • Bernoulli(p): 1 con p, 0 si no. E = p, Var = p(1−p).
  • Promediar 0/1 estima p; la suma de n da binomial.
  • En Python: random.random() < p.
  • p se calibra con datos; varianza pica en 0,5.
  • Todo sí/no del simulador es Bernoulli con nombre.

En el próximo tema sumaremos intentos: distribución binomial.