01 · Punto de partida
De un sí/no a cuántos sí
Un cliente es Bernoulli; 100 clientes son Binomial(n=100, p): cuenta cuántos éxitos en n intentos fijos, independientes y con igual p. Ventas del día, piezas buenas del lote, clics de la campaña: todo conteo con n conocido es binomial… hasta que p cambia o hay dependencia.
Sus fórmulas son directas: E = np, Var = np(1−p). Con n grande se aproxima a campana (puente a la normal, tema 23).
- ¿n está fijo antes de contar?
- ¿p es igual en cada intento?
- ¿Los intentos son independientes?
- ¿Qué cola P(X ≥ k) define el compromiso?
02 · Definición
Condiciones y fórmulas
Condiciones
n fijo, p igual, independencia. Si falla alguna, no es binomial (es hipergeométrica, Poisson o mixta).
Masa
C(n,x) ordenamientos × pˣ éxitos × (1−p)ⁿ⁻ˣ fracasos. Cada x un bastón.
Centro y ancho
E = np marca el pico; σ = √(npq) el ancho. Más n, campana más simétrica.
| Caso | E | σ | Uso |
|---|---|---|---|
| Bin(10, 0,3) | 3 | 1,45 | Laboratorio tema 9 |
| Bin(100, 0,12) | 12 | 3,25 | Ventas por 100 visitas |
| Bin(50, 0,02) | 1 | 0,99 | Fallos por lote |
03 · Chequeo binomial
Tres preguntas antes de usarla
Sí es binomial
n, p, independencia
100 visitas con igual p = 0,12, clientes que no se copian. Se usa directo y se dimensiona con colas.
No es binomial
p que cambia o sin reposición
Lote chico sin reposición (hipergeométrica), tasa por hora sin n (Poisson), p por segmento (mezcla).
- n fijo
- Se fija antes: 100 visitas, 50 piezas. Si n es aleatorio, el conteo es otro (Poisson).
- p igual
- Mismo p por intento. Si varía por hora o cliente, segmentar (tema 6).
- Independencia
- Un éxito no cambia el siguiente. Contagios y cupos la rompen.
- Cola
- P(X ≥ k) es el compromiso: prometer k con p y n dados.
04 · Ejemplos
Conteos con n fijo
- 1Ventas.
100 visitas, p = 0,12: P(vender ≥ 15) ≈ 0,2. Prometer 15 es arriesgado.
- 2Lote.
50 piezas, p falla = 0,02: P(0 fallas) ≈ 0,36. Aceptar el riesgo o muestrear.
- 3Soporte.
20 llamadas, p resuelve = 0,7: E = 14 resueltas al primer contacto.
- 4Juego.
10 golpes, p crítico = 0,1: P(≥ 2 críticos) ≈ 0,26.
- 5Encuesta.
400 respuestas, p = 0,5: σ = 10. Margen ±20 con 95 %.
05 · Representación en Python
Exacta y simulada
Python en tu navegador. Compará bastones exactos con frecuencias.
import math, random
random.seed(191)
n, p, N = 20, 0.3, 6000
pmf = [math.comb(n,x)*p**x*(1-p)**(n-x) for x in range(n+1)]
xs = [sum(random.random() < p for _ in range(n)) for _ in range(N)]
print("E:", n*p, "| sim:", round(sum(xs)/N, 2))
print("P(X>=8):", round(sum(pmf[8:]), 4), "| sim:", round(sum(1 for x in xs if x >= 8)/N, 4))Consejo: con N = 200 las colas saltan; con 20000 calcan.
Cola como compromiso
import math
n, p, k = 100, 0.12, 15
print("P(X>=15):", round(sum(math.comb(n,x)*p**x*(1-p)**(n-x) for x in range(k, n+1)), 3))06 · Exploración
Laboratorio: Bin(n, p) a medida
Fijá n y p: bastones claros = pmf exacta; sólidos = frecuencia de N réplicas. La franja lima es la cola X ≥ k. Achicá p y mirá cómo la masa se corre a 0.
X ~ Bin(n, p)
E = np · σ = √(npq)
N = 3000 fijo: la sim calca la exacta salvo colas raras.
Eje x 0 a n. Con n grande la forma se vuelve campana (adelanto de la normal).
Preguntas para explorar
- Con n = 20, p = 0,5, ¿qué forma tiene? ¿Y con p = 0,05?
- Subí n a 40 con p = 0,3. ¿La cola X ≥ 16 es grande o chica?
- Si k supera E por 2σ, ¿la cola aproximada cuánto da?
Ver respuestas sugeridas
- Simétrica en 10; aplastada en 0 con cola derecha. p manda la asimetría.
- Chica (~0,05): pedir 16 con E = 12 es exigir +2σ.
- ~0,025 en campana: regla práctica para compromisos (tema 23).
07 · Comprensión
Confusiones frecuentes
«Binomial es n veces lo mismo sin condiciones»
Exige n fijo, p igual e independencia. Sin eso, el conteo es otro modelo.
«El pico está en p»
Está en np (conteo), no en p (tasa). Con n = 100, p = 0,12 el pico está en 12.
«Con n grande siempre es normal»
Solo si p no es extremo: np y n(1−p) mayores a ~5. Si no, exacta o Poisson.
«La cola se lee en el bastón»
Se suma desde k: P(X ≥ k) acumula la derecha. Un bastón solo no decide.
08 · Práctica guiada
Ejercicios con Python
Ejercicio 1: pico y ancho
Para Bin(20, 0,3), calculá E, σ y P(X = 6) exacta. Verificá con 8000 réplicas.
import math, random
n, p = 20, 0.3
print("E:", n*p, "| sigma:", round((n*p*(1-p))**0.5, 3))
print("P(6):", round(math.comb(n,6)*p**6*(1-p)**14, 4))
random.seed(19)
xs = [sum(random.random() < p for _ in range(n)) for _ in range(8000)]
print("frec 6:", round(sum(1 for x in xs if x==6)/len(xs), 4))Ver solución razonada
E = 6, σ ≈ 2,05, P(6) ≈ 0,1916. El pico está en la media: firma binomial bien calibrada.
Ejercicio 2: lote sin fallas
Lote 50, p falla = 0,02. ¿P(0 fallas)? ¿Conviene aceptar sin inspeccionar?
print("P(0):", round(0.98**50, 3))Ver solución
≈ 0,364: solo 1 de cada 3 lotes sale limpio. Sin inspección se acepta 64 % con fallas: inspeccionar o renegociar.
Ejercicio 3: campaña
1000 mails, p = 0,05. ¿P(60 o más respuestas)? Aproximá simulando 5000 campañas.
Ver una posible respuesta
import random
random.seed(23)
N = 5000
print(round(sum(1 for _ in range(N) if sum(random.random() < 0.05 for _ in range(1000)) >= 60)/N, 3))Ronda 0,08: E = 50, pedir 60 es +1,4σ. Para prometer 60 con 90 % hay que subir p o n.
09 · Síntesis
Ideas para recordar
- Bin(n,p): n fijo, p igual, independencia. Suma de Bernoulli.
- P(X=x) = C(n,x)pˣ(1−p)ⁿ⁻ˣ; E = np; Var = np(1−p).
- La cola P(X ≥ k) es el compromiso: se calcula sumando.
- En Python: suma de
random() < pn veces. - Con n grande y p central, campana (puente a normal).
En el próximo tema esperaremos el primer éxito: distribución geométrica.