01 · Punto de partida
Cuando muchos efectos chicos se suman
Medidas, errores, tiempos con centro claro: X ~ N(μ, σ) con campana simétrica, centro μ y ancho σ. Suma de muchos efectos independientes termina campana (teorema central del límite): por eso aparece en todas partes.
En simulación sirve para medidas, errores y aproximación rápida de binomiales/Poisson grandes. Pero no sirve para colas largas o picos: ahí manda exponencial, gamma o empírica.
- ¿Los datos se concentran simétricos alrededor de un centro?
- ¿Qué μ y σ los resumen?
- ¿Qué fracción cae en μ ± σ, ± 2σ?
- ¿Puedo estandarizar a Z para usar tablas?
02 · Definición
Campana, Z y reglas sigma
Parámetros
μ mueve el centro; σ ensancha. Área total 1 siempre: más ancha = más baja.
Estandarizar
Z = (X−μ)/σ lleva a N(0,1). P(X menor a x) = Φ((x−μ)/σ): una sola tabla para todas.
Reglas
±σ: 68 %, ±2σ: 95 %, ±3σ: 99,7 %. Atajos para prometer sin integrar.
| Ventana | P aprox. | Uso |
|---|---|---|
| 8 a 12 (±σ) | 0,68 | Rango habitual |
| 6 a 14 (±2σ) | 0,95 | Garantía práctica |
| Mayor a 14 | 0,023 | Cola de riesgo |
03 · Cuándo aproxima
Puente desde conteos
Úsala
Suma de muchos
Bin(n,p) con np y n(1−p) mayores a 5, Poisson con λ mayor a 15, promedios de n grande: campana ajusta bien el centro.
No la fuerces
Colas y asimetría
Tiempos con pico en 0, demandas con tope, eventos raros: la campana simétrica esconde el riesgo real.
- Corrección
- Al aproximar discreta, usar ±0,5 (continuidad): P(X ≥ 15) ≈ P(Y mayor a 14,5).
- Colas
- La normal subestima colas pesadas: para riesgo extremo usar empírica o Chebyshev.
- Truncar
- Si X no puede ser negativa (tiempos), truncar o cambiar de modelo: la campana cruza 0.
- Verificación
- Histograma simétrico + media ≈ mediana + 68/95 en bandas: triple test.
04 · Ejemplos
Campanas que deciden
- 1Medida.
Pieza 100 ± 0,5 mm: P(fuera de ±1) ≈ 5 %. Control de calidad.
- 2Atención.
Tiempo 4 ± 1 min: 95 % entre 2 y 6. Dotación.
- 3Demanda.
100 ± 10/día: stock 120 ≈ +2σ cubre ~97 %.
- 4Encuesta.
500 respuestas p = 0,5: σ ≈ 11. Margen ±22 con 95 %.
- 5Error.
Sensor N(0, 0,1): P(|error| mayor a 0,2) ≈ 5 %. Tolerancia.
05 · Representación en Python
Generar y estandarizar
Python en tu navegador. Verificá 68–95 con conteos.
import random
random.seed(231)
mu, sigma, N = 10, 2, 8000
xs = [random.gauss(mu, sigma) for _ in range(N)]
print("68%:", round(sum(1 for x in xs if mu-sigma < x < mu+sigma)/N, 3))
print("95%:", round(sum(1 for x in xs if mu-2*sigma < x < mu+2*sigma)/N, 3))Consejo: gauss(μ,σ) pide desvío, no varianza.
Aproximar binomial
import random
random.seed(5)
# Bin(100,0.5) ≈ N(50,5). P(X>=60) con corrección: P(Y>59.5)
n, p = 100, 0.5
xs = [sum(random.random() < p for _ in range(n)) for _ in range(6000)]
print("sim:", round(sum(1 for x in xs if x >= 60)/len(xs), 3))06 · Exploración
Laboratorio: campana a medida
Fijá μ y σ: barras = histograma normalizado; curva blanca = densidad exacta. Franjas: lima μ ± σ, naranja hasta ±2σ. Achicá σ y la campana se empina; agrandalo y se aplasta.
X ~ N(μ, σ)
68 % en ±σ · 95 % en ±2σ
Con N grande, las barras calcan la curva y las bandas cierran.
Eje x 0 a 20 en 20 tramos. Las bandas muestran dónde cae la masa teórica.
Preguntas para explorar
- Con σ = 1 y N = 4000, ¿las bandas dan 0,68/0,95? ¿Y con N = 200?
- Duplicá σ a 4. ¿La altura del pico se parte a la mitad? ¿Por qué?
- Si μ = 4 y σ = 3, ¿qué problema ves con tiempos no negativos?
Ver respuestas sugeridas
- Sí con 4000 (a centésimas); con 200 saltan ±0,05. Las bandas también necesitan N.
- Sí: área 1 con doble ancho exige mitad de altura. Ancho y alto se compensan.
- La campana cruza 0 con prob. visible (~9 %): generaría tiempos negativos. Hay que truncar o cambiar de modelo.
07 · Comprensión
Confusiones frecuentes
«Todo se vuelve normal con N»
Los promedios sí (TCL); los datos crudos no. Tiempos asimétricos siguen asimétricos con N enorme.
«68–95 vale sin calibrar σ»
Con σ a ojo las bandas son decoración. σ se estima con datos o se somete a sensibilidad.
«Normal no genera negativos si μ es positiva»
Sí genera: P(X menor a 0) = Φ(−μ/σ). Con μ chica y σ grande es relevante.
«Colas normales cubren extremos»
Subestiman rarezas reales (crisis, picos). Para riesgo extremo usar empírica o cotas.
08 · Práctica guiada
Ejercicios con Python
Ejercicio 1: bandas
Con N(10,2) y 8000 valores, verificá 68 % y 95 % contando.
import random
random.seed(231)
xs = [random.gauss(10, 2) for _ in range(8000)]
print(round(sum(1 for x in xs if 8 < x < 12)/len(xs), 3))
print(round(sum(1 for x in xs if 6 < x < 14)/len(xs), 3))Ver solución razonada
0,683 y 0,954: la sim calca la teoría. Así se verifica un generador normal.
Ejercicio 2: Z a mano
P(X mayor a 14) con N(10,2) es P(Z mayor a 2) ≈ 0,023. Verificala simulando.
import random
random.seed(12)
xs = [random.gauss(10, 2) for _ in range(10000)]
print(round(sum(1 for x in xs if x > 14)/len(xs), 4))Ver solución
Ronda 0,023: Z = (14−10)/2 = 2. Estandarizar convierte cualquier normal en tabla única.
Ejercicio 3: stock con campana
Demanda N(100,10). ¿Stock con ~97,5 % de cobertura? Verificá P(X ≤ 120).
Ver una posible respuesta
import random
random.seed(41)
xs = [random.gauss(100, 10) for _ in range(10000)]
print(round(sum(1 for x in xs if x <= 120)/len(xs), 3))μ + 2σ = 120 cubre ~0,977. El colchón es 2σ = 20: dimensionar con bandas, no con media.
09 · Síntesis
Ideas para recordar
- N(μ,σ): campana simétrica, centro μ, ancho σ.
- Z = (X−μ)/σ unifica todas en N(0,1).
- 68 % en ±σ, 95 % en ±2σ, 99,7 % en ±3σ.
- Aproxima sumas y conteos grandes (con corrección).
- No sirve para colas largas, picos o límites duros.
En el próximo tema acumularemos etapas: distribución gamma.