Distribución gamma

01 · Punto de partida

Una etapa es exponencial; varias, gamma

Atender en 1 etapa exponencial es ruidoso (σ = media). Atender en k etapas encadenadas estabiliza: la suma es Erlang(k, λ), caso entero de la gamma. Tiempos de servicio por fases, reparaciones multi-paso y proyectos con hitos se modelan así.

Con k = 1 vuelve a exponencial; con k grande se acerca a campana. Forma k manda la regularidad; escala θ = 1/λ manda la duración.

• ¿El tiempo total son cuántas etapas encadenadas?
• ¿Cada etapa es exponencial con igual tasa?
• ¿Más etapas estabilizan o el cuello manda?
• ¿Qué cola P(X mayor a t) dimensiona el SLA?

02 · Definición

Forma, escala y casos

03 · Cuándo usarla

Etapas encadenadas, no picos

Regularidad

σ/E = 1/√k: más etapas, más predecible el total. k estima la regularidad del proceso.

Gamma general

k real no entero flexibiliza forma (tema 26). Aquí usamos Erlang entero: suficiente para simular.

Chequeo

Media ≈ k·θ y varianza ≈ k·θ² con histograma que arranca en 0 y pico interior si k mayor a 1.

Puente

k = 1 exp; k grande normal. Gamma conecta ambas familias (temas 22 y 23).

04 · Ejemplos

Totales por fases

1. 1
   Caja.

   3 pasos Exp(6/hora): total Erlang(3,6), media 30 min, más regular que 1 paso.

2. 2
   Taller.

   Diagnóstico + repuesto + prueba: k = 3 con tasas propias (simular por etapas).

3. 3
   Proyecto.

   4 hitos Exp(1/semana): total media 4 semanas, σ = 2.

4. 4
   Llamadas.

   Tiempo hasta 5 ventas con p por llamada: versión discreta es binomial negativa.

5. 5
   Red.

   Paquete por 2 saltos Exp: total Erlang(2). Jitter menor que 1 salto.

05 · Representación en Python

Sumar exponenciales

import random, statistics
random.seed(241)
lam = 1.0

def erlang(k, lam):
    return sum(random.expovariate(lam) for _ in range(k))

for k in [1, 4]:
    xs = [erlang(k, lam) for _ in range(4000)]
    print(k, "media:", round(statistics.mean(xs), 2), "| var:", round(statistics.variance(xs), 2))

Consejo: con k = 1 media ≈ var ≈ 1 (exponencial); con 4, media 4 y var 4.

Atajo gammavariate

import random
random.seed(9)
# alfa=k, beta=1/lambda. Erlang(3, lam=2) → media 1.5
xs = [random.gammavariate(3, 1/2) for _ in range(4000)]
print(round(sum(xs)/len(xs), 2))

06 · Exploración

Laboratorio: de exponencial a campana con k

Suma de k Exp(1). Barras = histograma normalizado; curva blanca = Erlang exacta x^k−1e^−x/(k−1)!. Subí k y mirá cómo el pico se despega de 0 y la curva se simetriza.

Eje x 0 a 24. La franja lima marca la cola mayor a t.

Preguntas para explorar

1. Con k = 1, ¿dónde está el pico? ¿Y con k = 4?
2. Con k = 4 y t = 8 (media + 2σ), ¿la cola cuánto da?
3. Si un proceso tiene σ/E ≈ 0,5, ¿qué k sugiere? Verificalo.

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: firma k/λ

Con k = 3, λ = 2, verificá E = 1,5 y Var = 0,75 con 6000 sumas.

import random, statistics
random.seed(241)
xs = [sum(random.expovariate(2) for _ in range(3)) for _ in range(6000)]
print(round(statistics.mean(xs), 3), round(statistics.variance(xs), 3))

Ejercicio 2: regularidad

Proceso con media 6 y σ = 3. ¿k equivalente? Verificá σ/E = 1/√k.

print("k:", round(1/(0.5**2)))

Ejercicio 3: SLA por etapas

Servicio 3 etapas Exp(6/hora) (media total 30 min). Estimá P(tardar más de 45 min) simulando.

import random
random.seed(51)
xs = [sum(random.expovariate(6) for _ in range(3)) for _ in range(8000)]
print(round(sum(1 for x in xs if x > 0.75)/len(xs), 3))

09 · Síntesis

Ideas para recordar

Cerramos el bloque de distribuciones. Desde el próximo tema elegiremos y calibraremos: selección de una distribución para un modelo.