Test chi-cuadrado

01 · Punto de partida

Del «se ve cargado» al «χ² = 14,2, p ≈ 0,01»

El laboratorio del Tema 12 mostraba barras contra lo esperado. El chi-cuadrado convierte esa imagen en un número con distribución conocida bajo H0, para juzgar con α pre-fijado y decir qué clase aporta el desajuste.

• ¿Cómo se agrupa en clases sin hacer trampa?
• ¿Cuánto vale (O−E)²/E en cada clase?
• ¿Cuántos grados de libertad quedan?
• ¿El rechazo señala todo o una clase puntual?

02 · Definición

Estadístico, grados y condiciones

03 · Método

Protocolo sin p-hacking de clases

1. 1
   Fijar H0, clases y α antes.

   Ej.: «H0: dado justo, 6 caras, α = 0,05». Los bordes de clase no se mueven para que «pase».

2. 2
   Calcular E bajo H0 y verificar E ≥ 5.

   Si una cola queda flaca, se fusiona con la vecina antes de calcular, no después de ver el p.

3. 3
   Sumar χ² y restar grados.

   gl = k − 1 − estimados. Estimar la media con los datos cuesta 1 grado.

4. 4
   Traducir a p y mirar residuos.

   Residuo estandarizado (O−E)/√E por clase: |·| > 2 señala la culpable.

5. 5
   Informar clases + χ² + gl + p + n.

   «6 clases, χ² = 4,2, gl = 5, p ≈ 0,52, n = 60: no se rechaza».

04 · Residuos y trampas

Dónde falla y cómo se maquilla

E < 5

Clases flacas inflan χ² por dividir entre poco. Se fusionan colas vecinas y baja gl en consecuencia.

Parámetros estimados

Estimar λ de Poisson con la muestra cuesta 1 gl. No restarlo fabrica rechazos falsos… o al revés.

n gigante

Con n = 10000, desvíos irrelevantes dan p ≈ 0. Informar residuos y efecto, no solo p.

05 · Representación en Python

χ² a mano, sin caja negra

obs = [12, 9, 11, 8, 10, 10]
esp = [10]*6
CRITICO, GL = 11.07, 5  # gl=6-1, alfa=0.05

contrib = [(o-e)**2/e for o, e in zip(obs, esp)]
chi = sum(contrib)
residuos = [(o-e)/(e**0.5) for o, e in zip(obs, esp)]
print("contribuciones:", [round(c, 2) for c in contrib])
print(f"chi² = {chi:.2f} (gl={GL}, crítico {CRITICO})")
print("residuos:", [round(r, 2) for r in residuos])
print("Veredicto:", "Se rechaza" if chi > CRITICO else "No se rechaza")

χ² = 1,00 ≪ 11,07: no se rechaza. Cambiá obs a [20, 5, 5, 10, 10, 10] y mirá qué clase aporta casi todo.

Condición E ≥ 5 y fusión de colas

obs2 = [12, 9, 11, 8, 10, 2, 1]  # dos colas flacas
esp2 = [8, 8, 8, 8, 8, 3, 2]
print("E<5 en:", [e for e in esp2 if e < 5], "-> fusionar últimas dos")
obs_f = obs2[:-2] + [obs2[-2] + obs2[-1]]
esp_f = esp2[:-2] + [esp2[-2] + esp2[-1]]
print("fusionado:", obs_f, esp_f, "k:", len(obs_f))

06 · Exploración

Laboratorio: cada clase aporta su culpa

H0: dado justo (6 caras, gl = 5, crítico 11,07). Mové la carga hacia el 6 y el n. Las barras muestran O vs. E; la seleccionada exhibe su aporte (O−E)²/E. El p se estima por Monte Carlo honesto (500 dados justos con igual n).

Altura = conteo observado; línea blanca = esperado n/6. El número sobre cada barra es su aporte al χ². La clase 6 cargada se despega primero.

Preguntas para explorar

1. Con carga 30% y n=60: ¿χ², p y aporte de la clase 6? ¿Qué fracción del total explica una sola cara?
2. Quitá la carga (0%) con n=60: ¿χ² y veredicto? Subí a n=240 sin carga: ¿el χ² se dispara o ronda gl=5?
3. Con carga 15% probá n=30 y n=240. ¿Mismo efecto, mismo veredicto? ¿Qué manda?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: calcular y señalar la culpable

¿χ², veredicto (crítico 11,07) y clase culpable?

obs = [20, 5, 5, 10, 10, 10]
esp = [10]*6
contrib = [(o-e)**2/e for o, e in zip(obs, esp)]
print(contrib, "chi =", round(sum(contrib), 2))
print("culpable: clase 1 con", contrib[0])

Ejercicio 2: grados que cuestan

Estimaste la media con los datos para calcular E. ¿gl?

k, estimados = 8, 1
print("gl =", k - 1 - estimados, "(no 7)")

Ejercicio 3: fusionar colas flacas

¿Qué hacer con E = [20, 20, 20, 3, 2]?

print("Fusionar las dos últimas en E=5 antes de calcular; k pasa de 5 a 4")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema veremos el test de Kolmogorov-Smirnov: comparar distribuciones sin perder detalle en clases.