Test de Kolmogorov-Smirnov

01 · Punto de partida

Sin clases, sin excusas de agrupado

Si tus tiempos de espera son continuos, agruparlos en 6 intervalos para chi-cuadrado tira información: dos muestras con igual histograma grueso pueden tener formas muy distintas. K-S evita el peaje: ordena los datos y compara la función de distribución empírica (ECDF) contra la teórica, en cada punto.

• ¿Cómo se construye la ECDF desde la muestra?
• ¿Dónde está el salto máximo D?
• ¿Ese D es azar muestral o desajuste?
• ¿Cuándo K-S y cuándo chi-cuadrado?

02 · Definición

ECDF, teórica y el salto D

03 · Método

Protocolo en 5 pasos

1. 1
   Fijar F con parámetros antes.

   Ej.: «H0: tiempos ∼ Exp(media 4)». Si estimás la media con la muestra, el p clásico es optimista: usar Lilliefors.

2. 2
   Ordenar y construir la ECDF.

   De menor a mayor, subiendo 1/n por dato. Empates: saltos múltiples (cuidado con discretos).

3. 3
   Evaluar D en cada salto.

   Comparar F̂ antes y después del salto contra F: el máximo de ambos lados es D.

4. 4
   Traducir D a p según n.

   A igual D, más n = más evidencia. Crítico ≈ 1,36/√n para α = 0,05 y n grande.

5. 5
   Graficar y marcar x*.

   La banda ECDF vs. F con el segmento D muestra dónde falla: ¿centro corrido? ¿cola pesada?

04 · Lectura y límites

Dónde mira K-S (y dónde es miope)

Lilliefors

Variante cuando media/desvío se estiman con la muestra. Críticos más exigentes; sin corrección el p miente hacia arriba.

Discretos con empates

K-S supone continuo. Con muchos empates (datos redondeados) el p es aproximado: preferir chi-cuadrado.

Dos muestras

También compara ECDF vs. ECDF (¿vienen de la misma distribución?). Puerta a Mann-Whitney/Wilcoxon (Temas 15–17).

05 · Representación en Python

D a mano con 6 datos

muestra = [0.8, 1.5, 2.4, 3.9, 4.6, 5.5]  # ordenada
n = len(muestra)
def F_unif(x):
    return max(0.0, min(1.0, x / 6.0))

D, x_estrella = 0, None
for i, x in enumerate(muestra, start=1):
    f_emp_antes, f_emp_desp = (i-1)/n, i/n
    d = max(abs(f_emp_antes - F_unif(x)), abs(f_emp_desp - F_unif(x)))
    print(f"x={x} F={F_unif(x):.2f} ECDF {f_emp_antes:.2f}->{f_emp_desp:.2f} d={d:.2f}")
    if d > D:
        D, x_estrella = d, x
print(f"D = {D:.3f} en x* = {x_estrella} (crítico ≈ {1.36/(n**0.5):.3f})")

D ≈ 0,15 < crítico 0,56: no se rechaza. Corré la muestra a +2 y mirá cómo D salta en el primer punto.

Crítico rápido según n

for n in [20, 60, 200]:
    print(f"n={n}: crítico 5% ≈ {1.36/(n**0.5):.3f}")
print("Mismo D=0.20: con n=20 no se rechaza, con n=200 sí")

06 · Exploración

Laboratorio: la escalera contra la curva

H0: Normal(0, 1) totalmente especificada. Tu muestra es Normal(desplazamiento, 1) con n puntos (semilla fija). La escalera celeste es tu ECDF; la curva blanca, la teórica. El segmento rojo es D en x*. El p se estima por Monte Carlo (300 muestras H0).

Eje x de −4 a 4, eje y de 0 a 1. El segmento vertical rojo une ECDF y teórica en el punto de máximo desacuerdo.

Preguntas para explorar

1. Con desplazamiento 0 y n=80: ¿D y p? ¿La escalera abraza la curva?
2. Con desplazamiento 0,6: probá n=20 y n=200. ¿Mismo D aproximado, mismo p? ¿Qué manda?
3. ¿Dónde ocurre x*: en el centro o en las colas? ¿Por qué eso confirma que K-S mira el centro?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: D de una muestra corrida

¿D contra Uniforme(0,6) si todo se corre +2?

m = [2.8, 3.5, 4.4, 5.9]
n = len(m)
D = max(max(abs((i)/n - x/6), abs((i+1)/n - x/6)) for i, x in enumerate(m))
print("D =", round(D, 2), "-> el primer punto ya abre la brecha")

Ejercicio 2: crítico según n

¿Qué D hace falta para rechazar con α = 0,05?

for n in [20, 80, 200]:
    print(n, round(1.36/(n**0.5), 3))

Ejercicio 3: Lilliefors en una frase

¿Por qué estimar la media obliga a corregir?

print("Estimar centra F en la muestra: D se achica a propósito.")
print("Sin corrección el test perdona: usar Lilliefors o partir.")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema abriremos la caja de los tests no paramétricos para comparar sin suponer normalidad.