Mann-Whitney

01 · Punto de partida

Dos sucursales, una pregunta

Querés comparar esperas de dos sucursales (o real vs. simulado con corridas independientes). Las distribuciones son sesgadas y hay atípicos: el t de medias es frágil. Mann-Whitney pregunta algo más robusto:

• ¿Un dato nuevo de B suele superar a uno de A?
• ¿Cuántos de los nA×nB duelos gana cada grupo?
• ¿Esa dominancia es azar o sistemática?
• ¿Cuánto vale en la práctica (además del p)?

02 · Definición

Rangos, U y supuestos

03 · Método

Protocolo en 5 pasos

1. 1
   Verificar independencia.

   Dos grupos distintos sin apareo. Si hay pareo por día o tanque, es Wilcoxon (Tema 17), no este.

2. 2
   Rankear juntos con empates promediados.

   Ordenar N valores; empates comparten promedio. Anotar R_A y R_B.

3. 3
   Calcular U y P(B>A).

   U_B = R_B − nB(nB+1)/2; efecto = U_B/(nA·nB). Informar ambos, no solo p.

4. 4
   Aproximar z si n ≥ 10.

   μ = nA·nB/2, σ = √(nA·nB(N+1)/12), z = (U−μ)/σ. Con n chico usar tabla exacta.

5. 5
   Dictaminar bilateral con efecto.

   «U = 190/256, p ≈ 0,01, P = 0,74: B domina». Sin efecto, el p es titular sin noticia.

04 · Lectura fina

Medianasy empates

Rank-biserial

r = 2·P−1 (−1…1): versión simétrica del efecto. 0 empate, 0,5 ventaja grande.

Bilateral por defecto

H0: P = 0,5 contra P ≠ 0,5. Unilateral («B>A») exige hipótesis direccional previa.

No es t fallido

Si el t no da y se «prueba» Mann-Whitney hasta que dé, es p-hacking. El test se elige por diseño y forma, antes.

05 · Representación en Python

U a mano con 5 + 5

A = [11, 12, 12, 13, 14]
B = [12, 13, 14, 15, 16]
import math

juntos = sorted([(v, 'A') for v in A] + [(v, 'B') for v in B])
# rangos con promedio en empates
rangos, i = [], 0
while i < len(juntos):
    j = i
    while j+1 < len(juntos) and juntos[j+1][0] == juntos[i][0]:
        j += 1
    prom = (i+1 + j+1) / 2
    rangos += [prom] * (j-i+1)
    i = j+1
RB = sum(r for (_, g), r in zip(juntos, rangos) if g == 'B')
nA, nB = len(A), len(B)
UB = RB - nB*(nB+1)/2
mu = nA*nB/2
sigma = math.sqrt(nA*nB*(nA+nB+1)/12)
z = (UB-mu)/sigma
# p bilateral normal
t = 1/(1+0.2316419*abs(z))
d = 0.3989423*math.exp(-z*z/2)
p1 = d*t*(0.3193815+t*(-0.3565638+t*(1.781478+t*(-1.821256+t*1.330274))))
p = 2*(1-p1 if z > 0 else p1)
print(f"RB={RB} UB={UB} P={UB/(nA*nB):.2f} z={z:.2f} p≈{p:.3f}")

RB = 33,5, UB = 18,5, P = 0,74, z ≈ 1,47, p ≈ 0,14: ventaja visible pero sin evidencia al 5% con n=5.

Efecto además de p

P = UB/(nA*nB)
print(f"P(B>A)={P:.2f} rank-biserial={2*P-1:+.2f}")
print("Con n=5 el p no puede bajar mucho: pedir más datos (Tema 28)")

06 · Exploración

Laboratorio: duelos U en vivo

A ∼ N(10, 1), B ∼ N(10 + diferencia, 1) más atípico en B. Mové diferencia, n y atípico. El panel muestra R_B, U, p normal y P(B>A). La línea gruesa es la mediana de cada grupo.

Puntos por grupo con medianas gruesas. El rojo es el atípico. U cuenta pares ganados por B sobre n×n posibles.

Preguntas para explorar

1. Con diferencia 1, n=16 y atípico 0: ¿U, p y P? ¿Evidencia al 5%?
2. Agregá atípico +8: ¿U y p se mueven mucho? ¿Por qué los rangos lo absorben?
3. Bajá a n=6 con diferencia 1: ¿p aunque P sea 0,75? ¿Qué enseña sobre potencia mínima?

07 · Comprensión

Confusiones frecuentes

08 · Práctica guiada

Ejercicios con Python

Ejercicio 1: U de un caso mínimo

A = [1, 2], B = [3, 4]. ¿U_B y P?

A, B = [1, 2], [3, 4]
UB = sum(1 for a in A for b in B if b > a)
print(f"UB={UB}/{len(A)*len(B)} P={UB/(len(A)*len(B)):.2f} (dominancia total)")

Ejercicio 2: el atípico que no voltea U

¿U con y sin atípico de 100?

A = [11, 12, 13]
for B in [[12, 13, 14], [12, 13, 100]]:
    u = sum(1 for a in A for b in B if b > a) + 0.5*sum(1 for a in A for b in B if b == a)
    print(B, "U =", u)

Ejercicio 3: informar completo

Redactá el informe de U = 190/256, p ≈ 0,01, medianas 10 vs. 11.

print("Mann-Whitney bilateral: U=190/256, p≈0.01, P(B>A)=0.74.")
print("Medianas 10 vs 11. B domina: 3 de cada 4 duelos. n=16+16.")

09 · Síntesis

Ideas para recordar

En el próximo tema, el hermano pareado: Wilcoxon de signos y rangos.